Mathématique PT / crible et premiers

Mécanique PT des gaps : du crible aux nombres premiers

L’idée est simple : on laisse agir un crible, certains nombres survivent, et les écarts entre survivants dessinent une mécanique. À la bonne profondeur, ces survivants deviennent exactement les nombres premiers.

La PT ne pose pas les gaps premiers comme une suite mystérieuse donnée d’avance. Elle part d’une dynamique de survivance : les points qui persistent sous les contraintes du crible forment des écarts, puis la fenêtre $y=\lfloor\sqrt{x}\rfloor$ réduit exactement ces survivants aux premiers.

Image

Un gap est d’abord un écart entre survivants

Si l’on retire les multiples de 2, 3 et 5, les positions encore vivantes modulo 30 sont 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29. Les gaps 6, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2 ne sont pas ajoutés à la main : ils sont la forme laissée par le crible.

C’est cette idée que la PT généralise : le discret n’est pas un ingrédient arbitraire, mais l’ensemble des points qui persistent dans une mécanique de contraintes.

Survivants modulo 30

exact

Gaps du crible

Les résidus copremiers d’un primoriel donnent une suite circulaire de survivants ; leurs différences donnent les gaps du crible.

exact

Réduction aux premiers

À la fenêtre $\sqrt{x}$, tout composite a déjà été éliminé. Les survivants restants sont donc $1$ et les premiers.

ouvert

Gap premier exact

Ce n’est pas encore une loi fermée donnant chaque $p_{n+1}-p_n$ sans connaître les premiers. C’est une mécanique de réduction et de transport.

Standard

Le point clé : la fenêtre racine

Soit $S(x;y)$ le nombre d’entiers $n\le x$ qui ne sont divisibles par aucun premier $\le y$. Si l’on choisit $y=\lfloor\sqrt{x}\rfloor$, alors un composite ne peut plus survivre : il possède forcément un diviseur premier $\le\sqrt{n}\le\sqrt{x}$.

Les survivants sont donc exactement $1$ et les premiers dans l’intervalle $(\sqrt{x},x]$. On obtient :

$\pi(x)=S(x;\lfloor\sqrt{x}\rfloor)+\pi(\lfloor\sqrt{x}\rfloor)-1$

Cette formule change le problème : comprendre la distribution des premiers revient à comprendre une loi de survivance à fenêtre finie.

Ce que la PT déplace

1. D’abord construire les survivants du crible.
2. Lire leurs gaps comme écarts de persistance.
3. Descendre à la fenêtre $\sqrt{x}$.
4. Obtenir les premiers comme survivants ultimes.

Technique

Formules de la mécanique

Densité sur tore fini

exact

$\varphi(M_A)=M_A\prod_{p\in A}(1-1/p)$

Sur une période complète du crible, chaque premier actif enlève exactement sa direction locale de collapse.

Fenêtre racine

exact

$S(x;\lfloor\sqrt{x}\rfloor)=1+\pi(x)-\pi(\lfloor\sqrt{x}\rfloor)$

À cette profondeur, survivre signifie être 1 ou premier : tout composite aurait déjà un diviseur visible.

Transport des survivants

exact

$\Phi(x,a)=\Phi(x,a-1)-\Phi(\lfloor x/p_a\rfloor,a-1)$

Ajouter un premier ne multiplie pas seulement une densité : il transporte le problème vers une fenêtre contractée.

Noyau PT-Buchstab

candidat

$K_{PT}(u)=e^\gamma\,\omega(u),\quad u=\log x/\log y$

Candidat naturel pour la loi universelle des survivants rugueux, avec le point racine $K_{PT}(2)=e^\gamma/2$.

Le seuil cubique

Dans le transport exact, la fenêtre contractée $\lfloor x/p_a\rfloor$ possède sa propre profondeur naturelle. Dès que $p_a^3>x$, cette fenêtre est déjà criblée au-delà de son seuil racine natif. Le terme transporté devient alors un terme de bord essentiellement premier.

$x^{1/3}<p\le x^{1/2}$ : bande naturelle de distorsion fenêtre/bord.

Ce qui est fermé

Densité de tore fini, identité de reconstruction de $\pi(x)$, transport exact des survivants, seuil cubique d’oversieve.

Ce qui reste ouvert

Fermer indépendamment la loi de fenêtre, contrôler les canaux de correction, puis seulement viser une loi générative complète des gaps premiers.