Gaps de survivants
Reproduit les gaps 6,4,2,4,2,4,6,2 du crible modulo 30.
Attendu : gaps = [6, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2]
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en attente
Atlas mathématique
Mathématique PT / crible
théorème
Gaps premiers et gaps de survivants
Lire les écarts premiers comme un cas limite des écarts entre survivants du crible.
Vulgarisé
L’idée
Un gap premier est l’écart entre deux nombres premiers voisins. En PT, on commence plus simplement : un gap est l’écart entre deux positions qui ont survécu au crible.
Quand on augmente la profondeur du crible jusqu’à la fenêtre racine, les survivants restants sont exactement 1 et les nombres premiers. Le problème des gaps premiers devient donc un problème de mécanique des survivants.
gaps circulaires
Standard
Lecture standard
Modulo un primoriel $M_A$, les résidus copremiers à $M_A$ forment une suite circulaire. Les différences successives donnent les gaps du crible.
La réduction exacte aux premiers se produit à $y=\lfloor\sqrt{x}\rfloor$ : tout composite $n\le x$ possède un facteur premier $\le\sqrt{x}$ et ne peut donc plus survivre.
À retenir
- Les gaps de crible sont exacts.
- La fenêtre racine réduit les survivants aux premiers.
- La loi fine des gaps premiers reste une frontière de recherche.
Technique
Formulation technique
Le cœur exact est la relation $S(x;\lfloor\sqrt{x}\rfloor)=1+\pi(x)-\pi(\lfloor\sqrt{x}\rfloor)$, où $S(x;y)$ compte les entiers non divisibles par les premiers $\le y$.
La partie encore ouverte n’est pas la réduction aux premiers, mais la loi fermée fine qui prédirait chaque écart $p_{n+1}-p_n$ sans connaître les premiers voisins.
Monographie : ch01_sieve, ch07_convergence, partie Riemann.
Formules
$\varphi(M_A)=M_A\prod_{p\in A}(1-1/p)$
$S(x;\lfloor\sqrt{x}\rfloor)=1+\pi(x)-\pi(\lfloor\sqrt{x}\rfloor)$
code public
Code et scripts
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