Théorème

Lemme G — Reconstruction Hilbert

L’espace de Hilbert de la QFT reconstruite est $\mathcal{H}_\infty = \varinjlim \bigotimes_{p \mid m_K} \mathcal{H}_p$.

Énoncé

L’espace de Hilbert de la théorie quantique des champs reconstruite (par Osterwalder–Schrader, cf. Lemmes E et F) est :

\boxed{\mathcal{H}_\infty = \varinjlim_{K \to \infty} \bigotimes_{p \,\mid\, m_K} \mathcal{H}_p,}

la limite inductive des produits tensoriels par facteur CRT, où chaque $\mathcal{H}_p$ est l’espace de Hilbert finie-dimensionnel associé au crible mod $p$ .

Théorème

Lecture vulgarisée. L’espace d’états de la mécanique quantique (l’« espace de Hilbert ») n’est pas posé arbitrairement en PT. Il est construit comme une combinaison particulière de petits espaces, un par premier actif, assemblés par produit tensoriel. Aucun choix de représentation cachée.

Pourquoi ça compte

Le lemme G complète la triade (E, F, G) des reconstructions :

E donne le couplage,
F donne la métrique d’espace-temps,
G donne l’espace d’états quantiques.

Avec ces trois lemmes, la QFT reconstruite à partir du crible est complètement caractérisée : algèbre d’observables ( $\mathcal{A}$ ), métrique (par F), espace de Hilbert (par G), et couplage (par E). Aucun élément externe n’est ajouté.

C’est ce qui justifie de dire que la PT « reconstruit la physique » plutôt que « identifie le crible à la physique ».

Démonstration — schéma

Étape G.1 : pour chaque premier $p$ , l’espace $\mathcal{H}_p$ est l’espace de Hilbert finie-dim associé au transfert $T_p$ .
Étape G.2 : la décomposition CRT donne $\mathcal{H}_{m} = \bigotimes_{p \mid m} \mathcal{H}_p$ pour tout module $m$ .
Étape G.3 : la limite inductive $\varinjlim$ existe et est bien définie par compatibilité OS.

Démonstration détaillée

Étape G.1 — Espace de Hilbert par premier

Pour chaque premier $p$ , l’espace de Hilbert $\mathcal{H}_p$ associé au transfert $T_p$ est de dimension $p - 1$ (le nombre de classes de résidus non nulles mod $p$ après élimination de 0). C’est un espace de dimension finie, équipé d’un produit scalaire défini par la mesure stationnaire de $T_p$ .

Pour les primaires actifs $\{3, 5, 7\}$ : $\dim \mathcal{H}_3 = 2$ , $\dim \mathcal{H}_5 = 4$ , $\dim \mathcal{H}_7 = 6$ .

Étape G.2 — Décomposition CRT du tenseur

Par CRT, pour $m = p_1 p_2 \cdots p_k$ produit de premiers distincts :

\mathcal{H}_m = \bigotimes_{p \mid m} \mathcal{H}_p.

C’est l’isomorphisme entre l’espace de Hilbert sur $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ et le produit tensoriel des espaces sur les facteurs premiers. Cohérent avec la factorisation tensorielle de la matrice de transfert $T_m = \bigotimes_p T_p$ .

Pour le tore arithmétique $\mathbb{T}^3 = \mathbb{Z}/105\mathbb{Z}$ (avec $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$ ), on a :

\mathcal{H}_{105} = \mathcal{H}_3 \otimes \mathcal{H}_5 \otimes \mathcal{H}_7,

de dimension $2 \cdot 4 \cdot 6 = 48$ .

Étape G.3 — Limite inductive

La famille $\{m_K\}_{K \geq 1}$ avec $m_{K+1} = m_K \cdot p_{K+1}$ (ajout d’un nouveau premier à chaque étape) génère une suite d’espaces croissante $\mathcal{H}_{m_1} \hookrightarrow \mathcal{H}_{m_2} \hookrightarrow \cdots$ .

La limite inductive :

\mathcal{H}_\infty = \varinjlim_{K \to \infty} \mathcal{H}_{m_K}

existe au sens des espaces pré-Hilbertiens. Le complété donne un espace de Hilbert séparable, infini-dimensionnel, qui est exactement l’espace d’états de la QFT reconstruite par OS.

Compatibilité avec les axiomes OS

Les inclusions $\mathcal{H}_{m_K} \hookrightarrow \mathcal{H}_{m_{K+1}}$ sont isométriques (préservent le produit scalaire) parce que les transferts $T_p$ sont stochastiques. Ceci garantit que la limite est bien définie et que l’algèbre d’observables $\mathcal{A}$ s’étend continuellement.

Implications structurelles

Dimensionalité finie par premier : chaque facteur reste de dimension finie, ce qui rend les calculs explicites possibles.
Limite séparable : $\mathcal{H}_\infty$ a une base dénombrable, conforme aux axiomes standards de la mécanique quantique.
CRT-factorisable : tout opérateur sur $\mathcal{H}_\infty$ se décompose sur les facteurs premiers — c’est la base technique de Pontryagin (BA5).

Pour la dérivation complète, voir chapitre 9 de la monographie, section Hilbert Reconstruction (Lemma G).

Voir aussi

Lemme E — Reconstruction du couplage — couplage de la QFT
Lemme F — Reconstruction métrique — métrique d’espace-temps
BA5 — Produit de Pontryagin — produit sur les facteurs CRT
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