Théorème

T6 — Holonomie

$\sin^2 \theta_p = \delta_p (2 - \delta_p)$ — la trigonométrie émerge du crible.

Énoncé

Pour tout premier $p$ et paramètre de branche $q$ avec $0 < \delta_p < 1$ , on définit l’angle de phase cyclique $\theta_p$ par :

\cos\theta_p = 1 - \delta_p(q), \quad\text{où}\quad \delta_p(q) = \frac{1 - q^p}{p}.

L’identité algébrique en découle :

\boxed{\sin^2\theta_p = \delta_p(q)\cdot(2 - \delta_p(q))}

Théorème

Lecture vulgarisée. Quand on tourne autour d’un cercle de $p$ points en sautant toujours du même nombre de cases, on revient au point de départ après un certain nombre de tours. Le théorème dit : l’angle qu’on parcourt à chaque saut est exactement donné par la formule ci-dessus, sans approximation. Conséquence : la trigonométrie (sin, cos, $\pi$ ) n’est pas inventée par la PT, elle sort naturellement du crible des nombres premiers.

Pourquoi ça compte

T6 est le maillon qui fait passer le crible (purement arithmétique) à la géométrie (angles, rotations, $\pi$ ). Sans T6, la PT serait bloquée au niveau des classes mod $p$ ; avec T6, on a accès à la trigonométrie complète et donc aux holonomies, aux groupes de Lie, et aux observables physiques (BA5 : $\alpha_{\mathrm{EM}} = \prod \sin^2\theta_p$ ).

Statut épistémique : théorème/dérivation dans la monographie. La réduction $\sin^2\theta_p=\delta_p(2-\delta_p)$ est algébrique une fois $\cos\theta_p=1-\delta_p$ posé ; le contenu non trivial est que cette définition de l’angle est forcée par la géométrie du crible.

Démonstration — schéma

La preuve est une dérivation directe en quatre temps :

Définir $\cos\theta_p = 1 - \delta_p$ (choix forcé par la matrice de transfert restreinte aux résidus non nuls — voir route 1 ci-dessous).
Appliquer Pythagore : $\sin^2\theta_p + \cos^2\theta_p = 1$ .
Substituer : $\sin^2\theta_p = 1 - (1-\delta_p)^2 = 2\delta_p - \delta_p^2$ .
Factoriser : $\sin^2\theta_p = \delta_p(2 - \delta_p)$ .

Le travail substantiel consiste à montrer que la définition de $\cos\theta_p$ n’est pas arbitraire — elle est imposée par la géométrie du crible, et trois routes mathématiquement disjointes y conduisent.

Démonstration détaillée

Route 1 — Géométrique (matrice de transfert restreinte)

Après que T1 force la diagonale principale du noyau de transition à zéro sur les classes de résidus non nulles, la matrice $T_p$ restreinte aux deux classes survivantes $\{r_1, r_2\}$ s’écrit :

T_p|_\text{réduit} = \begin{pmatrix} 1-\delta_p & * \\ * & 1-\delta_p \end{pmatrix}

où la diagonale est la fraction qui reste dans la même classe. Par conservation des probabilités (la somme par ligne vaut 1) :

\text{(hors-diagonal)} = 1 - (1 - \delta_p) = \delta_p.

L’amplitude de transition au carré, sommée sur les deux entrées hors-diagonale, donne la probabilité totale de changement de classe :

1 - (1 - \delta_p)^2 = 2\delta_p - \delta_p^2 = \delta_p(2 - \delta_p).

C’est la route stochastique : $\cos\theta_p$ est la fraction de masse qui reste dans la même classe, $\sin^2\theta_p$ est la fraction qui change.

Route 2 — Spectrale (transformée de Fourier sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ )

Soit $\omega = e^{2\pi i/p}$ et $\chi_j(r) = \omega^{jr}$ les caractères additifs de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ . La transformée de Fourier du noyau $T_p$ , restreinte aux résidus survivants $\{1, \ldots, p-1\}$ , a pour valeur propre du mode fondamental :

\widehat{T}_p(\chi_1) = \sum_{r=1}^{p-1} T_p(0, r)\,\omega^r = 1 - \delta_p = \cos\theta_p.

La contraction du premier mode de Fourier non trivial vaut donc :

1 - |\widehat{T}_p(\chi_1)|^2 = 1 - (1 - \delta_p)^2 = \delta_p(2 - \delta_p) = \sin^2\theta_p.

Cette route identifie $\sin^2\theta_p$ comme le poids spectral perdu par le caractère fondamental à chaque pas du crible — un objet d’analyse harmonique sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ , indépendant de toute interprétation géométrique.

Vérification numérique : proof_holonomy.py, Part 1, confirme la contraction $|\hat{P}(1)|^2$ à $p = 3$ .

Route 3 — Information-géométrique (composante de Fisher)

La composante par premier de l’information de Fisher

F_p(\mu) = \sum_r P_r^{-1}\left(\frac{\partial P_r}{\partial \mu}\right)^2

(voir §9.5 de la monographie) satisfait $F_p \propto \sin^2\theta_p$ au point fixe du crible. Spécifiquement, la double intégration

\ln\alpha = -\iint g_{00}\,d\mu^2

reproduit le produit $\prod \sin^2\theta_p$ parce que la métrique de Fisher est additivement séparable sur les facteurs CRT. Cette route donne $\sin^2\theta_p$ comme composante de courbure de la variété statistique, sans référence à des angles de rotation.

Cohérence des trois routes

L’accord exact des trois routes — géométrique, spectrale, information-géométrique — est une vérification de cohérence non triviale. Elles utilisent des machineries mathématiques disjointes : probabilités finies, analyse de Fourier discrète, géométrie d’information. L’identité $\sin^2\theta_p = \delta_p(2-\delta_p)$ apparaît dans chacune.

Émergence de $\pi$

L’apparition de $\pi$ dans la PT est une conséquence directe de T6, via l’identité de Bâle :

\zeta(2) = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.

La somme sur les premiers actifs $\{3, 5, 7\}$ des $\sin^2\theta_p$ pondérés par les multiplicités donne, à la limite continue, une intégrale qui contient $\zeta(2)$ et donc $\pi^2$ .

Pour la dérivation complète, voir chapitre 6 de la monographie (énoncé p. 95, motivation p. 110, trois routes p. 158, vérification numérique p. 230).

Voir aussi

Calculatrice 2 — sin²(θ_p) sur les deux branches — calcule l’identité en direct pour $p \in \{2, 3, 5, 7, 11, ...\}$
Essai — D’où vient α_EM = 1/137 ? — application directe de T6
Théorème T5 (point fixe) — utilise T6 pour fermer le crible
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