Théorème

T5 — Attracteur informationnel μ* = 15

Après cristallisation de p = 2, le secteur réduit du crible admet un unique attracteur physique : $\mu^* = 3+5+7 = 15$.

Énoncé

L’équation d’auto-cohérence du crible

\mu^* = \sum_{p\,:\,\gamma_p(\mu^*) > s} p, \qquad s = 1/2,

admet une unique solution stable dans le secteur informationnel réduit, à savoir :

\boxed{\mu^* = 3 + 5 + 7 = 15, \qquad \text{ensemble actif} = \{3, 5, 7\}.}

La preuve combine un scan exhaustif rationnel exact sur $\mu \in [3, 100]$ avec une borne analytique de monotonie pour $p \geq 7$ , qui exclut tout point fixe supplémentaire dans le secteur réduit $\{3, 5, 7\}$ .

Théorème

Lecture simple. On a une équation auto-référente : « $\mu$ doit être la somme des premiers actifs à $\mu$ ». Dans le secteur physique où $p=2$ a cristallisé en infrastructure binaire, T5 dit : il n’y a qu’une fermeture stable. C’est $\mu = 15$ avec les premiers actifs $\{3, 5, 7\}$ . Aucun autre choix de premiers ne ferme l’équation dans ce secteur réduit. C’est pourquoi il vaut mieux parler d’attracteur informationnel : $\mu^* = 15$ n’est pas seulement une égalité statique, c’est la fermeture stable vers laquelle glisse la cascade admissible.

Pourquoi ça compte

T5 est le point culminant de la chaîne de théorèmes. Tous les précédents (T0–T6, GFT, L0) sont nécessaires pour formuler T5, et T5 ferme le crible : à $\mu^* = 15$ , la scission de parité amorcée par $p = 2$ est figée comme bifurcation $q_+/q_-$ , puis les 43 observables physiques se déduisent.

Trois régimes existent en réalité :

$\mu = 10$ , ensemble $\{2, 3, 5\}$ — secteur binaire/spin,
$\mu = 17$ , ensemble $\{2, 3, 5, 7\}$ — secteur transitoire,
$\mu^* = 15$ , ensemble $\{3, 5, 7\}$ — secteur informationnel, celui de notre physique.

C’est $\mu^* = 15$ qui pilote la PT physique, après que $p = 2$ ait « cristallisé » dans l’infrastructure binaire.

Démonstration — schéma

Définir $\gamma_p(\mu) = -d\ln(\sin^2\theta_p)/d\ln\mu$ (dimension anomale).
Calculer $\gamma_p$ par arithmétique rationnelle exacte à $\mu = 15$ : $\gamma_3, \gamma_5, \gamma_7 > 1/2$ , $\gamma_{11}, \gamma_{13} < 1/2$ .
Vérifier $3 + 5 + 7 = 15$ — cohérence atteinte.
Borne analytique : $\gamma_p$ strictement décroissante en $p$ pour $p \geq 7$ , donc aucun premier $\geq 11$ n’est actif à aucun $\mu$ raisonnable.
Scan exhaustif des sous-ensembles finis de $\{3, 5, 7, 11, 13, ...\}$ pour confirmer l’unicité dans le secteur réduit.

Démonstration détaillée

Étape 1 — Calcul rationnel exact des $\gamma_p$ à $\mu = 15$

À $q = 13/15$ , chaque quantité est un nombre rationnel exact (fractions.Fraction, zéro erreur flottante). Les valeurs sont :

$p$	$\gamma_p$ (fraction exacte)	$\gamma_p$ (décimal)	$> 1/2$ ?
3	$4\,536\,129 / 5\,616\,704$	0,80761…	✓
5	$486\,792\,684\,365 / 699\,097\,512\,194$	0,69632…	✓
7	$2\,827\,519\,972\,576\,117 / 4\,748\,396\,022\,746\,468$	0,59547…	✓
11	(rationnel exact, omis)	0,42573…	✗
13	(rationnel exact, omis)	0,35624…	✗

Les différences $\gamma_3 - \gamma_5$ , $\gamma_5 - \gamma_7$ , $\gamma_7 - \gamma_{11}$ sont strictement positives (vérification par soustraction exacte de fractions).

Étape 2 — Cohérence numérique

L’ensemble $\{3, 5, 7\}$ est actif à $\mu = 15$ . Sa somme :

3 + 5 + 7 = 15 = \mu.

L’équation d’auto-cohérence est satisfaite. C’est un point fixe.

Étape 3 — Monotonie analytique pour $p \geq 7$

$\gamma_p$ se factorise comme $\gamma_p = F(p) \cdot G(p)$ avec :

$F(p) = 4 q^{p-1}/\mu$ — exponentiellement décroissant,
$G(p) = (1 - \delta_p)/(\delta_p (2 - \delta_p))$ — analyse de signe.

La fraction de gap $\delta_p = (1 - q^p)/p$ est strictement décroissante en $p$ (analyse en variable réelle $x \mapsto (1 - e^{-Lx})/x$ avec $L = \ln(15/13) > 0$ ).

Conséquence : pour tout $p \geq 7$ , $\gamma_p < \gamma_7 \approx 0{,}595$ . L’ajout d’un premier $p \geq 11$ à l’ensemble actif est donc impossible : $\gamma_p < 1/2$ violerait l’activité.

Étape 4 — Scan exhaustif des candidats finis

On énumère tous les sous-ensembles $S \subset \{3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...\}$ finis, calcule $\mu_S = \sum_{p \in S} p$ , et teste la cohérence $\gamma_p(\mu_S) > 1/2$ pour $p \in S$ .

Résultats du scan exhaustif (cf. proof_T5_fixed_point.py, 33 PASS) :

$S = \{3, 5, 7\}$ : $\mu = 15$ , cohérent ✓
$S = \{3, 5\}$ : $\mu = 8$ , mais $\gamma_3(8) > 1/2$ et $\gamma_5(8) > 1/2$ donnent juste un état partiel — le système n’est pas encore au point fixe ( $\mu = 8 \neq 8$ trivialement, mais $\gamma_7(8) > 1/2$ aussi, donc 7 devrait être inclus, contradiction).
$S = \{3, 5, 7, 11\}$ : $\mu = 26$ , mais $\gamma_{11}(26) < 1/2$ — incohérent.
$S = \{2, 3, 5\}$ : $\mu = 10$ , secteur binaire/spin (point fixe distinct, $p = 2$ inclus).
$S = \{2, 3, 5, 7\}$ : $\mu = 17$ , secteur transitoire.

Aucun autre sous-ensemble ne ferme l’équation dans le secteur informationnel (sans $p = 2$ ). $\mu^* = 15$ est unique pour le secteur info.

Étape 5 — Stabilité linéaire et bassin attractif

La stabilité du point fixe se vérifie par calcul de la matrice jacobienne :

J_{ij} = \frac{\partial \gamma_{p_j}}{\partial \mu_i} \bigg|_{\mu = \mu^*}.

Le rayon spectral $|\lambda_\max(J)| < 1$ confirme que $\mu^* = 15$ est un attracteur (cf. ch. 8, théorème de stabilité). Dans la lecture réduite, le bassin pertinent est $\mu_0 \in [12,17]$ : $17$ glisse vers $15$ après cristallisation de $p=2$ , tandis que $18$ déclenche la cascade divergente.

J1–J6 : six justifications indépendantes

La monographie liste six justifications indépendantes de l’attracteur réduit $\mu^* = 15$ :

Scan exhaustif (étape 4).
Stabilité linéaire (étape 5).
$N_c = 3$ : seule solution de $(N_c + 1)! / (N_c + 3) = 2^{N_s - 1}$ avec $N_s = 3$ .
Premier 7 = oracle entier de $e^2$ : drift $A_p = \ln p / \sqrt{p}$ maximal à $p = 7$ .
Identité du produit d’écho : $\prod_{p \in \{3,5,7\}} q_-^p = 1/e$ exactement.
Cosmogonie : la séquence $\mu = 10 \to 17 \to 15$ donne le scénario d’évolution.

Pour la dérivation complète, voir chapitre 8 de la monographie.

Voir aussi

T6 — Holonomie — donne $\sin^2\theta_p$ et $\gamma_p$
Calculatrice 1 — γ_p(μ) — calcule $\gamma_p$ et l’activité en direct
Essai — Pourquoi 3 dimensions ? — application directe de T5
Essai — Pourquoi 3 générations ? — $N_\text{gen} = |\{3,5,7\}| = 3$
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