Théorème

T5 — Point fixe unique μ* = 15

Le crible admet un unique point fixe stable à $\mu^* = 3+5+7 = 15$.

Énoncé

L’équation d’auto-cohérence du crible

\mu^* = \sum_{p\,:\,\gamma_p(\mu^*) > s} p, \qquad s = 1/2,

admet une unique solution stable, à savoir :

\boxed{\mu^* = 3 + 5 + 7 = 15, \qquad \text{ensemble actif} = \{3, 5, 7\}.}

La preuve combine un scan exhaustif rationnel exact sur $\mu \in [3, 100]$ avec une borne analytique de monotonie pour $p \geq 7$ , qui exclut tout point fixe en dehors du primorial actif $\{3, 5, 7\}$ .

Théorème

Lecture vulgarisée. On a une équation auto-référente : « $\mu$ doit être la somme des premiers actifs à $\mu$ ». Combien y a-t-il de solutions ? T5 dit : exactement une. C’est $\mu = 15$ avec les premiers actifs $\{3, 5, 7\}$ . Aucun autre choix de premiers ne ferme l’équation. Cette unicité est ce qui fait dire à la PT « zéro paramètre libre » : si plusieurs solutions existaient, il faudrait choisir, et ce choix serait un paramètre.

Pourquoi ça compte

T5 est le point culminant de la chaîne de théorèmes. Tous les précédents (T0–T6, GFT, L0) sont nécessaires pour formuler T5, et T5 ferme le crible : à partir de $\mu^* = 15$ , la bifurcation $q_+/q_-$ commence et les 43 observables physiques se déduisent.

Trois points fixes existent en réalité :

$\mu = 10$ , ensemble $\{2, 3, 5\}$ — secteur cinématique (binaire),
$\mu = 17$ , ensemble $\{2, 3, 5, 7\}$ — secteur transitoire,
$\mu^* = 15$ , ensemble $\{3, 5, 7\}$ — secteur informationnel, celui de notre physique.

C’est $\mu^* = 15$ qui pilote la PT physique, après que $p = 2$ ait « cristallisé » dans l’infrastructure binaire.

Démonstration — schéma

Définir $\gamma_p(\mu) = -d\ln(\sin^2\theta_p)/d\ln\mu$ (dimension anomale).
Calculer $\gamma_p$ par arithmétique rationnelle exacte à $\mu = 15$ : $\gamma_3, \gamma_5, \gamma_7 > 1/2$ , $\gamma_{11}, \gamma_{13} < 1/2$ .
Vérifier $3 + 5 + 7 = 15$ — cohérence atteinte.
Borne analytique : $\gamma_p$ strictement décroissante en $p$ pour $p \geq 7$ , donc aucun premier $\geq 11$ n’est actif à aucun $\mu$ raisonnable.
Scan exhaustif des sous-ensembles finis de $\{3, 5, 7, 11, 13, ...\}$ pour confirmer l’unicité.

Démonstration détaillée

Étape 1 — Calcul rationnel exact des $\gamma_p$ à $\mu = 15$

À $q = 13/15$ , chaque quantité est un nombre rationnel exact (fractions.Fraction, zéro erreur flottante). Les valeurs sont :

$p$	$\gamma_p$ (fraction exacte)	$\gamma_p$ (décimal)	$> 1/2$ ?
3	$4\,536\,129 / 5\,616\,704$	0,80761…	✓
5	$486\,792\,684\,365 / 699\,097\,512\,194$	0,69632…	✓
7	$2\,827\,519\,972\,576\,117 / 4\,748\,396\,022\,746\,468$	0,59547…	✓
11	(rationnel exact, omis)	0,42573…	✗
13	(rationnel exact, omis)	0,35624…	✗

Les différences $\gamma_3 - \gamma_5$ , $\gamma_5 - \gamma_7$ , $\gamma_7 - \gamma_{11}$ sont strictement positives (vérification par soustraction exacte de fractions).

Étape 2 — Cohérence numérique

L’ensemble $\{3, 5, 7\}$ est actif à $\mu = 15$ . Sa somme :

3 + 5 + 7 = 15 = \mu.

L’équation d’auto-cohérence est satisfaite. C’est un point fixe.

Étape 3 — Monotonie analytique pour $p \geq 7$

$\gamma_p$ se factorise comme $\gamma_p = F(p) \cdot G(p)$ avec :

$F(p) = 4 q^{p-1}/\mu$ — exponentiellement décroissant,
$G(p) = (1 - \delta_p)/(\delta_p (2 - \delta_p))$ — analyse de signe.

La fraction de gap $\delta_p = (1 - q^p)/p$ est strictement décroissante en $p$ (analyse en variable réelle $x \mapsto (1 - e^{-Lx})/x$ avec $L = \ln(15/13) > 0$ ).

Conséquence : pour tout $p \geq 7$ , $\gamma_p < \gamma_7 \approx 0{,}595$ . L’ajout d’un premier $p \geq 11$ à l’ensemble actif est donc impossible : $\gamma_p < 1/2$ violerait l’activité.

Étape 4 — Scan exhaustif des candidats finis

On énumère tous les sous-ensembles $S \subset \{3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...\}$ finis, calcule $\mu_S = \sum_{p \in S} p$ , et teste la cohérence $\gamma_p(\mu_S) > 1/2$ pour $p \in S$ .

Résultats du scan exhaustif (cf. proof_T5_fixed_point.py, 33 PASS) :

$S = \{3, 5, 7\}$ : $\mu = 15$ , cohérent ✓
$S = \{3, 5\}$ : $\mu = 8$ , mais $\gamma_3(8) > 1/2$ et $\gamma_5(8) > 1/2$ donnent juste un état partiel — le système n’est pas encore au point fixe ( $\mu = 8 \neq 8$ trivialement, mais $\gamma_7(8) > 1/2$ aussi, donc 7 devrait être inclus, contradiction).
$S = \{3, 5, 7, 11\}$ : $\mu = 26$ , mais $\gamma_{11}(26) < 1/2$ — incohérent.
$S = \{2, 3, 5\}$ : $\mu = 10$ , secteur cinématique (point fixe distinct, $p = 2$ inclus).
$S = \{2, 3, 5, 7\}$ : $\mu = 17$ , secteur transitoire.

Aucun autre sous-ensemble ne ferme l’équation dans le secteur informationnel (sans $p = 2$ ). $\mu^* = 15$ est unique pour le secteur info.

Étape 5 — Stabilité linéaire

La stabilité du point fixe se vérifie par calcul de la matrice jacobienne :

J_{ij} = \frac{\partial \gamma_{p_j}}{\partial \mu_i} \bigg|_{\mu = \mu^*}.

Le rayon spectral $|\lambda_\max(J)| < 1$ confirme que $\mu^* = 15$ est un attracteur (cf. ch. 8, théorème de stabilité).

J1–J6 : six justifications indépendantes

La monographie liste six justifications indépendantes du point fixe $\mu^* = 15$ :

Scan exhaustif (étape 4).
Stabilité linéaire (étape 5).
$N_c = 3$ : seule solution de $(N_c + 1)! / (N_c + 3) = 2^{N_s - 1}$ avec $N_s = 3$ .
Premier 7 = oracle entier de $e^2$ : drift $A_p = \ln p / \sqrt{p}$ maximal à $p = 7$ .
Identité du produit d’écho : $\prod_{p \in \{3,5,7\}} q_-^p = 1/e$ exactement.
Cosmogonie : la séquence $\mu = 10 \to 17 \to 15$ donne le scénario d’évolution.

Pour la dérivation complète, voir chapitre 8 de la monographie.

Voir aussi

T6 — Holonomie — donne $\sin^2\theta_p$ et $\gamma_p$
Calculatrice 1 — γ_p(μ) — calcule $\gamma_p$ et l’activité en direct
Essai — Pourquoi 3 dimensions ? — application directe de T5
Essai — Pourquoi 3 générations ? — $N_\text{gen} = |\{3,5,7\}| = 3$
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