Pourquoi trois générations de fermions ?

L’observation

Le Modèle Standard contient trois générations de fermions :

La symétrie est exacte : chaque génération a la même structure de jauge, la même charge, le même contenu. Seules les masses changent.

Pourquoi trois ? Pas deux ni quatre ? Les expériences LEP au CERN ont mesuré la largeur de désintégration du $Z^0$ et trouvé un nombre de neutrinos légers compatible avec 3,000 ± 0,008. Pas 2, pas 4. Précisément 3.

Le Modèle Standard prend ce nombre comme donné et n’en dit rien.

La réponse PT

Le nombre de générations est égal au nombre de premiers actifs au point fixe $\mu^* = 15$. Ce nombre est 3, et uniquement 3 :

L’argument est court :

1. Un premier $p$ est actif si $\gamma_p > s = 1/2$ (critère BA4).
2. Au point fixe $\mu^* = 15$, on calcule $\gamma_3 = 0{,}808$, $\gamma_5 = 0{,}696$, $\gamma_7 = 0{,}595$, $\gamma_{11} = 0{,}478$, …
3. Trois sont au-dessus du seuil. Le quatrième (et tous les suivants) sont en-dessous.
4. La cascade s’arrête à $p = 7$. Pas de quatrième génération possible.

C’est aussi ça qu’on appelle dans la monographie le « théorème de finitude » : le nombre de premiers actifs est borné par la décroissance monotone de $\gamma_p$ en $p$.

La même structure pour $N_c$

La même logique donne trois couleurs de quark : $N_c = 3$. Trois premiers actifs, trois directions dans l’espace de couleur SU(3). C’est pourquoi $N_{\mathrm{gen}} = N_c = 3$ dans la PT — ils sont la même quantité, comptée selon l’axe lepton ou couleur.

Cette coïncidence n’est pas accidentelle dans le Modèle Standard non plus : c’est elle qui rend la théorie anomaly-free (les anomalies de jauge des leptons et des quarks se compensent exactement quand $N_{\mathrm{gen}} = N_c$). Mais le Modèle Standard ne dit pas pourquoi ce nombre commun vaut 3.

La PT donne la cause : ce nombre est $|\{3, 5, 7\}|$.

Une prédiction simple

Si on découvrait une quatrième génération de leptons légers (un nouveau neutrino $\nu_x$ avec $m_{\nu_x} < m_Z/2$), la PT serait fausse. La cascade ne pourrait pas reprendre à $p = 11$ sans casser la condition d’auto-cohérence du point fixe.

C’est P12 dans la liste des prédictions falsifiables : $N_{\mathrm{gen}} = 3$ exactement. Aucun mécanisme de la PT ne peut accommoder un quatrième neutrino léger.

L’expérience tranchée : LEP, Planck (via $N_{\mathrm{eff}}^\nu$), DUNE (oscillations de précision). Le nombre tient à mieux qu’un pourcent. Tant qu’il tient, la PT survit.

Pourquoi c’est important

Ce 3 est probablement le résultat PT le plus accessible. On peut le tester sans précision extrême : une quatrième famille de fermions chargés serait visible directement. Cinquante ans d’expériences disent qu’elle n’existe pas.

Le Modèle Standard accommode ce fait. La PT le dérive. C’est la différence entre décrire le monde et le comprendre : dans un cas le 3 est un input, dans l’autre c’est une conséquence du crible d’Ératosthène.

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