Théorème

L0 — Distribution géométrique unique

L’unique distribution sans-mémoire d’entropie maximale sur les écarts pairs.

Énoncé

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans les écarts pairs $\{2, 4, 6, \ldots\}$ satisfaisant :

(a) absence de mémoire : $P(X > a + b \mid X > a) = P(X > b)$ ,
(b) espérance fixée : $\mathbb{E}[X] = \mu$ ,
(c) entropie maximale (Shannon) parmi les distributions vérifiant (a) et (b).

Alors $X$ suit nécessairement une loi géométrique :

\boxed{P(X = 2k) = (1 - q)\, q^{k-1}, \qquad q = 1 - 2/\mu, \qquad k \geq 1.}

Théorème

Lecture vulgarisée. Si on cherche la « plus simple » loi de probabilité pour décrire les écarts entre nombres premiers — celle qui n’invente aucune structure cachée —, on n’a aucun choix : c’est la loi géométrique. Comme tirer à pile ou face pour décider quand le prochain premier arrive, sauf que le biais de la pièce est fixé par l’espérance moyenne $\mu$ .

Pourquoi ça compte

L0 est le deuxième maillon de la chaîne (après T0). Une fois que T0 a identifié $\{g_n\}$ comme champ dynamique, L0 fixe sa loi statistique sans aucun choix arbitraire. C’est ce qui rend la PT sans paramètre libre : aucune distribution alternative ne peut être insérée à la place de la loi géométrique sans violer une des trois conditions (a)(b)(c).

Conséquence directe : tout ce qui suit (T1, T2, T6, etc.) hérite de la paramétrisation $q = 1 - 2/\mu$ , et $q$ devient l’unique variable libre du système — fixée elle-même au point fixe par T5.

Démonstration — schéma

Reformuler : « sans mémoire » sur $\mathbb{N}$ implique que $\log P(X = 2k)$ est affine en $k$ .
Multiplicateurs de Lagrange : entropie max sous $\mathbb{E}[X] = \mu$ donne une famille exponentielle.
Identifier la loi : géométrique de paramètre $q$ .
Calculer $q$ depuis $\mu$ : la relation $\mu = 2/(1-q)$ inverse à $q = 1 - 2/\mu$ .

Démonstration détaillée

Étape 1 — Conséquence de l’absence de mémoire

L’absence de mémoire $P(X > a + b \mid X > a) = P(X > b)$ implique, sur le support discret $\{2, 4, 6, \ldots\}$ :

P(X > 2(k+1)) = P(X > 2) \cdot P(X > 2k).

Par récurrence : $P(X > 2k) = q^k$ avec $q = P(X > 2) \in (0, 1)$ . Et donc :

P(X = 2k) = P(X > 2(k-1)) - P(X > 2k) = q^{k-1}(1 - q).

C’est déjà la forme géométrique. L’unicité parmi les lois sans mémoire est immédiate.

Étape 2 — Maximisation d’entropie

Sans la condition (a), la classe des distributions sur $\{2, 4, 6, \ldots\}$ satisfaisant $\sum_{k} 2k \cdot p_k = \mu$ et $\sum_k p_k = 1$ est plus large. Par multiplicateurs de Lagrange :

\mathcal{L} = -\sum_k p_k \log p_k - \alpha\!\left(\sum_k 2k\, p_k - \mu\right) - \beta\!\left(\sum_k p_k - 1\right).

La condition $\partial \mathcal{L} / \partial p_k = 0$ donne $\log p_k = -1 - 2 \alpha k - \beta$ , donc $p_k \propto e^{-2 \alpha k}$ . On retrouve une famille géométrique avec $q = e^{-2\alpha}$ .

L’unicité de l’argmax (entropie strictement concave) garantit qu’il n’y a qu’une seule solution dans cette famille à $\mu$ fixé.

Étape 3 — Conjonction (a) + (c)

L’étape 1 montre : (a) seul ⇒ géométrique. L’étape 2 montre : (b) + (c) seuls ⇒ géométrique.

Le théorème L0 affirme : (a) ∧ (b) ∧ (c) déterminent la même distribution géométrique avec une cohérence forcée : la valeur de $q$ est fixée à la fois par (a) (paramètre libre du modèle exponentiel) et par (b) (relation à $\mu$ ). La compatibilité entre les deux est garantie par la propriété $\mathbb{E}[X] = \frac{2}{1 - q}$ pour $X$ géométrique sur les pairs.

Étape 4 — Calcul de $q$

Pour $X$ géométrique sur $\{2, 4, 6, \ldots\}$ avec paramètre $q$ :

\mathbb{E}[X] = \sum_{k \geq 1} 2k \cdot (1 - q) q^{k-1} = 2(1 - q) \cdot \frac{1}{(1 - q)^2} = \frac{2}{1 - q}.

L’imposition $\mathbb{E}[X] = \mu$ inverse à :

q = 1 - \frac{2}{\mu}.

C’est la branche $q_+$ de la PT. La branche $q_- = e^{-1/\mu}$ apparaît dans la version continue (limite haute énergie) et donne la géométrie / quarks plutôt que les couplages / leptons.

Pourquoi pas une autre loi ?

Les seules autres distributions sur $\mathbb{N}$ avec entropie maximale à moyenne fixée sont :

la loi exponentielle (sur $\mathbb{R}_+$ ) — exclue car $\{g_n\}$ est discret,
la loi de Poisson — exclue car elle ne satisfait pas l’absence de mémoire (a) sur les pairs.

La géométrique est l’unique candidat sur $\{2, 4, 6, \ldots\}$ qui satisfait les trois conditions simultanément.

Pour la dérivation complète, voir chapitre 3 de la monographie (L0 démontré dans la section « Maximum entropy under mean constraint »).

Voir aussi

T0 — Clôture BA0 — fixe le champ dynamique $\{g_n\}$
T6 — Holonomie — utilise $q$ pour calculer $\delta_p$ et $\sin^2\theta_p$
Calculatrice 2 — sin²(θ_p) — joue avec les deux branches $q_+ / q_-$
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