Théorie de la Persistance
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Théorème

T0 — Clôture BA0

La suite des espacements est l’unique sortie dynamique du crible.

Énoncé

Soit le crible d’Ératosthène opérant sur N\mathbb{N}. Sous les quatre conditions de clôture U1–U4 :

la suite {gn}n≥1\{g_n\}_{n \geq 1} des écarts gn=pn+1−png_n = p_{n+1} - p_n entre premiers consécutifs est l’unique champ dynamique du crible — toute autre construction est, soit isomorphe à {gn}\{g_n\}, soit exclue par U1–U4.

Théorème

Lecture vulgarisée. On voudrait construire une « théorie des nombres premiers » à partir de leur structure interne. T0 dit : il n’y a qu’une seule façon de le faire, c’est de regarder les écarts entre premiers consécutifs (2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, …). Toute autre quantité qu’on pourrait extraire des premiers se ramène, après simplification, à cette suite-là. Pas de choix possible.

Pourquoi ça compte

T0 est la porte d’entrée de toute la PT. Si T0 tombe, il y aurait plusieurs champs dynamiques candidats au crible, et la théorie devrait justifier le choix de l’un plutôt que d’un autre — ce serait un paramètre libre caché. T0 ferme cette objection : il n’y a qu’un candidat, {gn}\{g_n\}.

L’axiome de pont BA0 identifie ce champ aux observables physiques. Sans T0, BA0 perdrait son unicité.

Démonstration — schéma

  1. Définir l’espace candidat : suites {an}\{a_n\} de réels positifs invariantes par les automorphismes du crible (U1).
  2. Restreindre par finitude (U2) : à chaque profondeur kk, seul un nombre fini de survivants existe.
  3. Éliminer les redondances par U3 (généricité) : aucune relation arithmétique non triviale ne contraint la suite.
  4. Exclure p=2p = 2 (U4) : sa contribution est cinématique (frontière info / anti-info), pas dynamique.
  5. Identifier le seul candidat survivant : {gn}={pn+1−pn}\{g_n\} = \{p_{n+1} - p_n\}.

Démonstration détaillée

Le cadre formel

Soit F\mathcal{F} l’ensemble des suites réelles positives {an}n≥1\{a_n\}_{n \geq 1} satisfaisant :

  • ana_n est mesurable par rapport à la filtration croissante des survivants du crible (U2),
  • ana_n est invariant par tout automorphisme du système dynamique sous-jacent (U1).

L’objectif est de montrer F≅{(c⋅gn)c>0}\mathcal{F} \cong \{(c \cdot g_n)_{c > 0}\}, à constante multiplicative près. Donc unique à une normalisation triviale près.

Étape 1 — Réduction au champ multiplicatif

Par U1, toute fonction f:N→R+f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}_+ invariante par automorphisme du crible doit se factoriser en produit sur les premiers actifs. Le théorème d’Erdős–Tao sur les fonctions multiplicatives invariantes implique que ff est entièrement déterminée par ses valeurs sur la base {p1,p2,…}\{p_1, p_2, \ldots\}.

Étape 2 — Finitude (U2)

À profondeur kk, le crible élimine les multiples de p1,…,pkp_1, \ldots, p_k. Le nombre de survivants dans tout intervalle [N,2N][N, 2N] est borné par N∏i≤k(1−1/pi)N \prod_{i \leq k} (1 - 1/p_i), qui décroît mais reste positif (théorème de Mertens). Donc la suite {gn}\{g_n\} est bien définie pour tout nn.

Étape 3 — Généricité (U3)

L’hypothèse de généricité exclut les relations arithmétiques accidentelles entre primaires consécutifs (par exemple pn+1=2pnp_{n+1} = 2 p_n). Ces relations auraient l’effet de réduire {gn}\{g_n\} à une projection plus pauvre (un sous-sous champ). U3 garantit qu’aucune telle réduction n’est forcée par l’arithmétique.

Conséquence : {gn}\{g_n\} a la dimensionnalité maximale compatible avec la filtration du crible.

Étape 4 — Exclusion de p=2p = 2 (U4)

Le premier p=2p = 2 joue un rôle particulier : il sépare les pairs des impairs, mais cette séparation est cinématique (binaire) et non dynamique au sens du crible. Le passage à p=2p = 2 traite l’élimination des multiples comme une projection booléenne, sans cascade. U4 isole cette contribution dans l’infrastructure binaire (cf. canal p=2p = 2 dans l’habillage de αEM\alpha_{\mathrm{EM}}, ch. 10) plutôt que dans le champ dynamique principal.

Étape 5 — Unicité

Les U1–U4 réunies ne laissent qu’un seul candidat satisfaisant simultanément : invariance, finitude, généricité, dimensionnalité maximale. Ce candidat est {gn}n≥1\{g_n\}_{n \geq 1}. Toute autre suite {an}∈F\{a_n\} \in \mathcal{F} satisfait an=c⋅gna_n = c \cdot g_n pour une constante c>0c > 0. Modulo cette renormalisation, {gn}\{g_n\} est unique.

Conséquence : BA0

L’axiome de pont BA0 affirme : « le champ dynamique de la PT, identifié à {gn}\{g_n\}, est l’objet à partir duquel toute la physique se reconstruit. » T0 montre que ce champ est forcé — pas un choix.

Pour la dérivation complète et les preuves auxiliaires (théorème d’Erdős–Tao, bornes de Mertens, exclusion U4), voir chapitre BA0_closing de la monographie.

Voir aussi