Théorème

T1 — Transitions interdites mod 3

Le crible interdit deux résidus consécutifs identiques mod 3.

Énoncé

Soit $T_3$ la matrice de transfert du crible des entiers 6-rough (entiers non divisibles par 2 ni par 3) sur les classes de résidus modulo 3. On a :

\boxed{T_3[1, 1] = T_3[2, 2] = 0.}

Autrement dit : si trois entiers consécutifs survivants sont $n_1 < n_2 < n_3$ , ils ne peuvent pas tous appartenir à la même classe $\{1, 2\} \pmod 3$ .

Théorème

Lecture vulgarisée. Liste les nombres qui ne sont divisibles ni par 2 ni par 3 : 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, … Regarde leur reste quand on les divise par 3 : 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, … Ça alterne toujours. Trois en ligne avec le même reste, c’est arithmétiquement impossible. Voilà T1.

Le crible et la règle interdite

Les nombres premiers émergent du crible. Les écarts entre survivants du crible ne se distribuent pas n'importe comment dans les classes mod 3 — c'est la règle T1.

premier multiple éliminé premier courant gap ≡ 1 mod 3 gap ≡ 2 mod 3

Pourquoi ça compte

T1 est la première contrainte exacte sur la dynamique du crible. C’est elle qui force $s = 1/2$ (théorème de la diagonale nulle) et qui ouvre la voie à T3 (la matrice $T_3$ est purement antidiagonale), T6 (l’holonomie sin²θ_p émerge de matrices restreintes après T1), et T2 (conservation spectrale).

Sans T1, la matrice de transfert aurait un terme diagonal positif et la symétrie $s = 1/2$ ne serait pas forcée — il faudrait l’imposer comme un postulat.

T1 est au niveau du crible, pas au niveau des premiers eux-mêmes : les premiers jumeaux comme $(61, 67)$ peuvent partager une même classe mod 3, mais la dynamique déterminante de la PT est la dynamique cribline, pas la dynamique premerale (cf. Cor. T1-primes, ch. 1).

Démonstration — schéma

Caractériser les entiers 6-rough comme une suite arithmétique mod 6.
Lister les survivants mod 6 : $\{1, 5\} \pmod 6$ .
Réduire mod 3 : $1 \to 1$ , $5 \to 2$ .
Observer que la suite $\{1, 5, 7, 11, 13, 17, \ldots\} \pmod 3$ alterne strictement entre 1 et 2.
Conclure : la matrice de transfert sur $\{1, 2\}$ a pour seules entrées non nulles les positions hors-diagonale.

Démonstration détaillée

Étape 1 — Caractérisation des entiers 6-rough

Un entier $n$ est 6-rough si $\gcd(n, 6) = 1$ . Cela équivaut à :

n \equiv 1 \pmod 6 \quad\text{ou}\quad n \equiv 5 \pmod 6.

Les entiers 6-rough forment donc deux progressions arithmétiques mod 6 : $\{1, 7, 13, 19, 25, \ldots\}$ et $\{5, 11, 17, 23, 29, \ldots\}$ .

Étape 2 — Réduction mod 3

Réduisons les deux progressions modulo 3 :

$1, 7, 13, 19, 25, \ldots \equiv 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \pmod 3$ ,
$5, 11, 17, 23, 29, \ldots \equiv 2, 2, 2, 2, 2, \ldots \pmod 3$ .

Étape 3 — Alternance forcée

Mais en triant l’union dans l’ordre croissant, on obtient :

1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, \ldots

dont les classes mod 3 sont :

1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, \ldots

L’alternance est rigoureuse : entre deux 6-rough consécutifs, la classe mod 3 doit changer.

Démonstration formelle : si $n$ et $n + g$ sont deux 6-rough consécutifs (avec $g \in \{2, 4\}$ — les gaps possibles entre 6-rough adjacents), alors :

$g = 2$ envoie $1 \pmod 3 \to 0 \pmod 3$ ou $2 \pmod 3 \to 1 \pmod 3$ : la première option contredit « 6-rough » (multiple de 3), donc $g = 2$ donne $2 \to 1$ .
$g = 4$ donne $1 \to 2$ ou $2 \to 0$ : la seconde option contredit « 6-rough », donc $g = 4$ donne $1 \to 2$ .

Dans les deux cas, la classe change. CQFD.

Étape 4 — Matrice de transfert

La matrice de transfert $T_3$ sur les états $\{1, 2\}$ (les classes mod 3 non nulles) capture la probabilité de passer d’une classe à l’autre en un pas du crible :

T_3 = \begin{pmatrix} P(1 \to 1) & P(1 \to 2) \\ P(2 \to 1) & P(2 \to 2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

C’est précisément l’énoncé de T1 (les coefficients diagonaux sont nuls). On en déduit T3 : $T_3$ est antidiagonale.

Étape 5 — Conséquence : $s = 1/2$

La matrice antidiagonale $T_3 = \mathrm{antidiag}(1, 1)$ a pour valeurs propres $\pm 1$ . La distribution stationnaire est uniforme sur $\{1, 2\}$ avec poids $1/2$ chacun. Cette stationarité, combinée à la symétrie d’échange de Dirichlet, force la valeur fondamentale $s = 1/2$ .

C’est ainsi que la « symétrie fondamentale du crible » n’est pas un postulat mais une conséquence de T1.

Distinction crible / premiers

Au niveau du crible (entiers 6-rough), T1 est exact : aucune transition mod 3 ne se répète. Au niveau des premiers (sous-suite des 6-rough qui sont premiers), T1 n’est qu’approximatif : des paires comme $(61, 67)$ ou $(151, 157)$ partagent leur classe mod 3 (les deux sont $\equiv 1$ ). Mais ces violations sont d’ordre $O(1/\ln N)$ — elles disparaissent à la limite asymptotique.

Toutes les dérivations PT ultérieures utilisent la matrice de niveau crible, pas la matrice empirique au niveau premier (cf. Remark T0_scope, ch. 1).

Pour la dérivation complète et la discussion crible vs premiers, voir chapitre 1 de la monographie.

Voir aussi

T0 — Clôture BA0 — fixe le champ dynamique
T3 — Transfert antidiagonal — conséquence directe de T1
T2 — Conservation spectrale — utilise $T_3$ pour propager
Tous les théorèmes