Théorème

T2 — Conservation spectrale

Identité spectrale exacte $|\lambda_2(T_{30})| = s^2 = 1/4$.

Énoncé

Soit $T_{30}$ la matrice de transfert du crible mod 30 (le primorial $2 \cdot 3 \cdot 5$ ). Sa seconde plus grande valeur propre $\lambda_2$ satisfait l’identité algébrique exacte :

\boxed{|\lambda_2(T_{30})| = s^2 = \frac{1}{4}.}

Cette identité provient de la factorisation par théorème des restes chinois (CRT) :

T_{30} \cong T_3 \otimes T_5,

et de la valeur propre dominante non triviale $|\lambda_2(T_3)| = |\lambda_2(T_5)| = 1/2 = s$ sur les blocs antidiagonaux.

Théorème

Lecture vulgarisée. Si on regarde comment l’« information » se propage à travers le crible mod 30, on découvre qu’elle décroît exactement par un facteur $1/4$ à chaque pas. Pas $1/3$ , pas $1/5$ , exactement $1/4 = (1/2)^2$ . Et ce $1/2$ , c’est la symétrie fondamentale $s$ . Cette « conservation spectrale » dit que la PT n’a pas de degré de liberté caché qui change la vitesse de propagation.

Pourquoi ça compte

T2 est l’identité de conservation au sens spectral : elle exprime quantitativement comment l’information persiste à travers les pas du crible. C’est un précurseur du Théorème fondamental des écarts (GFT) qui donne la même conservation sous forme entropique : $\log_2 m = D_{KL} + H$ .

T2 sert aussi de pierre de touche numérique : tout calcul empirique sur $T_{30}$ doit retourner $|\lambda_2| = 0{,}25$ exactement (pas approximatif). C’est un test de cohérence interne de la PT.

Démonstration — schéma

Factoriser $T_{30}$ par CRT : $\mathbb{Z}/30 \cong \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/3 \times \mathbb{Z}/5$ .
Réduire au sous-bloc dynamique : après exclusion de $p = 2$ (cinématique), $T_{30}|_\text{dyn} = T_3 \otimes T_5$ .
Calculer les valeurs propres de $T_3$ et $T_5$ sur les classes survivantes : $|\lambda_2(\tilde{T}_3)| = |\lambda_2(\tilde{T}_5)| = 1/2 = s$ .
Multiplier : $\lambda_2(\tilde{T}_3 \otimes \tilde{T}_5) = (1/2) \cdot (1/2) = 1/4$ .

Démonstration détaillée

Étape 1 — Factorisation CRT

Le théorème des restes chinois donne l’isomorphisme d’anneaux :

\mathbb{Z}/30\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}.

La matrice de transfert du crible respecte cette factorisation parce que les conditions de divisibilité par 2, 3, 5 sont indépendantes. Donc :

T_{30} = T_2 \otimes T_3 \otimes T_5.

Étape 2 — Exclusion du facteur cinématique $T_2$

Par U4 (cf. T0), le facteur $T_2$ est cinématique et n’entre pas dans la dynamique principale. Il fixe simplement la parité (les survivants sont impairs), ce qui restreint l’espace d’état mais ne contribue pas au spectre dynamique. La matrice dynamique pertinente est donc :

T_{30}|_\text{dyn} = T_3 \otimes T_5.

Étape 3 — Spectre de $\tilde{T}_3$ (normalisé)

Par T1 + T3, $T_3 = \mathrm{antidiag}(1, 1)$ sur $\{1, 2\} \pmod 3$ . Après normalisation à matrice stochastique (chaque ligne somme à 1), la valeur propre dominante est $\lambda_1 = 1$ (mode stationnaire) et la seconde valeur propre vaut :

|\lambda_2(\tilde{T}_3)| = 1/2 = s.

C’est la valeur propre du mode antisymétrique sur $\{1, 2\}$ .

Étape 4 — Spectre de $\tilde{T}_5$

Pour $T_5$ , le crible élimine $0 \pmod 5$ , laissant 4 classes survivantes $\{1, 2, 3, 4\}$ . La matrice de transfert sur ces classes est circulante (invariante par décalage cyclique), avec valeurs propres :

\sigma(\tilde{T}_5) = \{1,\, 1/2,\, 1/2,\, 0\}.

Calcul direct par diagonalisation Fourier sur $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ — voir ch. 3 de la monographie, p. 145.

Donc $|\lambda_2(\tilde{T}_5)| = 1/2 = s$ (identique à $T_3$ ).

Étape 5 — Produit tensoriel

Pour deux matrices $A$ et $B$ , le spectre de $A \otimes B$ est :

\sigma(A \otimes B) = \{\lambda_i \mu_j \mid \lambda_i \in \sigma(A),\ \mu_j \in \sigma(B)\}.

Donc :

\sigma(\tilde{T}_3 \otimes \tilde{T}_5) \supseteq \{1 \cdot 1, 1 \cdot 1/2, 1/2 \cdot 1, 1/2 \cdot 1/2, \ldots\} = \{1, 1/2, 1/2, 1/4, \ldots\}.

La plus grande est $\lambda_1 = 1$ (la stationnaire). La seconde est :

|\lambda_2(\tilde{T}_{30}|_\text{dyn})| = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = s^2.

CQFD.

Conséquences

Conservation exacte. Le facteur de contraction du mode dominant non trivial est exactement $s^2 = 1/4$ , pas un nombre proche.
Pas de paramètre libre. L’identité $|\lambda_2| = s^2$ est purement algébrique : elle ne dépend ni de $\mu$ , ni de $q$ , ni d’aucune observable physique.
Pierre de touche numérique. Toute simulation du crible mod 30 doit reproduire $|\lambda_2| = 0{,}25$ avec précision machine.

Pour la dérivation complète, voir chapitre 3 de la monographie.

Voir aussi

T1 — Transitions interdites mod 3 — donne la diagonale nulle
T3 — Transfert antidiagonal — explicite $T_3$
GFT — log₂(m) = D_KL + H — version entropique de T2
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