Théorème

T3 — Transfert antidiagonal

$T_3 = \mathrm{antidiag}(1,1)$ — la matrice mod 3 est purement off-diagonale.

Énoncé

La matrice de transfert mod 3 du crible des survivants 6-rough est :

\boxed{T_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \mathrm{antidiag}(1, 1).}

Cette structure purement antidiagonale est conséquence directe de T1 (transitions interdites) : les coefficients diagonaux étant nuls (T1) et chaque ligne devant sommer à 1 (matrice stochastique), les coefficients hors-diagonale sont forcément égaux à 1.

Théorème

Lecture vulgarisée. Étant donné T1 (deux entiers 6-rough consécutifs ne sont jamais dans la même classe mod 3), la « matrice » qui décrit comment passer d’une classe à l’autre est ultra-simple : on bascule toujours, jamais on ne reste. Sous forme de tableau, c’est un échiquier 2 × 2 : 0 sur les diagonales, 1 ailleurs.

Pourquoi ça compte

T3 explicite la matrice $T_3$ utilisée partout dans la suite : T2 l’utilise pour la conservation spectrale, T6 pour l’holonomie, T4 pour la convergence. C’est la forme la plus simple possible d’une matrice stochastique non triviale 2×2 — un opérateur de bascule pur.

Le fait que $T_3$ soit purement antidiagonale a aussi des conséquences géométriques importantes : ses valeurs propres sont $\pm 1$ , son carré est l’identité $T_3^2 = I$ , et son action sur la base $\{1, 2\}$ est une involution.

Démonstration — schéma

Partir de T1 : $T_3[1,1] = T_3[2,2] = 0$ .
Imposer la somme par ligne = 1 (matrice stochastique).
Conclure $T_3[1,2] = T_3[2,1] = 1$ .

Démonstration détaillée

Étape 1 — La matrice est stochastique

Une matrice de transfert $T$ d’une chaîne de Markov vérifie $\sum_j T[i, j] = 1$ pour chaque ligne $i$ (les probabilités de transition partantes somment à 1).

Pour $T_3$ sur $\{1, 2\}$ :

T_3[1, 1] + T_3[1, 2] = 1, \qquad T_3[2, 1] + T_3[2, 2] = 1.

Étape 2 — Application de T1

T1 affirme $T_3[1, 1] = T_3[2, 2] = 0$ . En substituant :

T_3[1, 2] = 1, \qquad T_3[2, 1] = 1.

D’où la forme :

T_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Spectre

Le polynôme caractéristique est :

\det(T_3 - \lambda I) = \lambda^2 - 1.

Donc $\lambda \in \{+1, -1\}$ . Les vecteurs propres associés :

$\lambda_1 = +1$ : $v_1 = (1, 1)^T$ (stationnaire, uniforme sur $\{1, 2\}$ ),
$\lambda_2 = -1$ : $v_2 = (1, -1)^T$ (mode antisymétrique).

Involution

Comme $T_3^2 = I$ , deux applications successives ramènent à l’état de départ. C’est cohérent avec la lecture vulgarisée : « bascule, bascule, retour ».

Articulation avec T6

Sur la branche $q = 1 - 2/\mu$ , la matrice de transfert généralisée à profondeur non triviale prend la forme :

T_3(q) = \begin{pmatrix} 1 - \delta_3 & \delta_3 \\ \delta_3 & 1 - \delta_3 \end{pmatrix}

avec $\delta_3 = (1 - q^3)/3$ . La diagonale $1 - \delta_3 = \cos\theta_3$ apparaît naturellement, et la formule T6 $\sin^2\theta_3 = \delta_3 (2 - \delta_3)$ émerge comme amplitude carrée de transition off-diagonal.

Au cas idéal $q \to 1$ (limite cribline pure), $\delta_3 \to 0$ et donc $\cos\theta_3 \to 1$ , $\sin^2\theta_3 \to 0$ . À $q = 13/15$ (point fixe $\mu^* = 15$ ), $\delta_3 = 0{,}1163$ et $\sin^2\theta_3 = 0{,}2192$ — la valeur qui entre dans le calcul de $\alpha_{\mathrm{EM}}$ .

T3 est donc le cas limite de T6 où $\delta = 1/2$ (ligne stationnaire à demi-bascule) ou plus précisément l’enveloppe combinatoire dont T6 donne la version analytique paramétrée.

Pour la dérivation complète, voir chapitre 3 de la monographie.

Voir aussi

T1 — Transitions interdites mod 3 — donne la diagonale nulle
T6 — Holonomie — version paramétrée de $T_3$
Calculatrice 2 — sin²(θ_p) — voit $\delta_3$ et $\sin^2\theta_3$ en direct
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