Théorème

N1 — Unicité algébrique des premiers

Les nombres premiers sont les uniques atomes du monoïde multiplicatif $(\mathbb{N}_{\geq 1}, \times)$.

Énoncé

Les nombres premiers $\mathbb{P} = \{2, 3, 5, 7, 11, \ldots\}$ sont les uniques atomes du monoïde multiplicatif $(\mathbb{N}_{\geq 1}, \times)$ . Le crible d’Ératosthène est l’unique procédure constructive qui les identifie par élimination successive des multiples.

Théorème

Lecture vulgarisée. Si on cherche les « briques fondamentales » de la multiplication sur $\mathbb{N}$ , il n’y en a qu’une famille possible : les nombres premiers. Toute autre candidate se ramène à eux. Et la seule manière constructive de les trouver est le crible. C’est ce qui rend la PT non-arbitraire dans son point de départ.

Pourquoi ça compte

N1 établit la non-arbitrarité du point de départ de la PT. Si une autre famille de « briques » avait pu jouer le rôle des premiers, le crible aurait été un choix parmi d’autres. N1 ferme cette porte : pas de degré de liberté caché à la racine.

C’est aussi N1 qui ferme la cohérence philosophique du programme : la PT ne postule pas l’existence d’objets exotiques, elle utilise les briques que l’arithmétique elle-même impose.

Démonstration — schéma

Atomes : par le théorème fondamental de l’arithmétique, tout entier $n \geq 2$ se factorise de manière unique en produit de premiers (à l’ordre près).
Unicité : aucune autre famille de générateurs multiplicatifs n’admet factorisation unique sur $\mathbb{N}$ .
Constructivité : le crible élimine les multiples par ordre croissant ; aucune autre procédure constructive avec les mêmes axiomes ne donne le même résultat.

Démonstration détaillée

Partie 1 — Les premiers sont atomes

Un atome de $(\mathbb{N}_{\geq 1}, \times)$ est un élément $a \neq 1$ tel que $a = bc \Rightarrow b = 1$ ou $c = 1$ . C’est exactement la définition d’un nombre premier. Le théorème fondamental de l’arithmétique (existence + unicité de la factorisation) montre que les premiers engendrent multiplicativement $\mathbb{N}$ et qu’aucun autre élément n’a la propriété d’atomicité.

Partie 2 — Unicité de la famille

Supposons une famille alternative $\mathcal{A} \subset \mathbb{N}$ tels que tout $n$ se factorise uniquement en produit d’éléments de $\mathcal{A}$ . Par unicité de la factorisation premier-par-premier, chaque $a \in \mathcal{A}$ doit être lui-même un produit de premiers. Si $a$ est un produit non trivial (c’est-à-dire pas un premier seul), alors $a$ admet une factorisation interne, contradiction avec son atomicité dans $\mathcal{A}$ . Donc $\mathcal{A} \subseteq \mathbb{P}$ . Réciproquement, l’absence d’un premier $p \in \mathcal{A}$ rendrait $p$ non factorisable, contradiction. Donc $\mathcal{A} = \mathbb{P}$ .

Partie 3 — Unicité du crible

Toute procédure constructive identifiant les premiers doit décider, pour chaque $n$ , si $n$ est premier. La méthode minimale est de tester la divisibilité par tous les premiers $p \leq \sqrt{n}$ identifiés précédemment. C’est exactement le crible d’Ératosthène.

Toute variation (élimination dans un autre ordre, par d’autres relations) soit ne termine pas (test exhaustif infini), soit produit le même résultat (si elle respecte la divisibilité), soit produit un résultat erroné. Le crible d’Ératosthène est donc l’unique procédure constructive correcte et finie.

Pour la dérivation complète, voir chapitre 2 de la monographie.

Voir aussi

N2 — Auto-cohérence — le crible est l’unique crible auto-cohérent
N3 — Minimalité structurelle — ℕ est le monoïde minimal
T0 — Clôture BA0 — utilise N1 pour fixer le champ dynamique
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