G3 — Unicité de la métrique de Fisher (Čencov)

Énoncé

Sur l’espace d’état du crible $\Delta_2 = \{(p, 1-p) : p \in (0,1)\}$, la métrique de Fisher

est l’unique métrique riemannienne monotone sous toutes les applications de Markov du crible (en particulier la matrice de transfert $T_m$ et ses marginales). « Monotone » signifie que pour toute matrice stochastique $T$, $g_{T(P)}(T_*v, T_*v) \leq g_P(v,v)$.

Pourquoi ça compte

G3 est le pilier de l’unicité métrique dans la chaîne de reconstruction de la PT. Avec G1 (unicité de $D_{KL}$), il fixe la géométrie de l’information du crible : sans aucun choix arbitraire, $\Delta_2$ porte une et une seule métrique riemannienne.

Cette unicité se propage à toute la suite : Fisher → Lemme F (reconstruction métrique) → variété riemannienne lorentzienne (au-delà du seuil $\mu_c$) → équations d’Einstein. Sans G3, la géométrie riemannienne de la branche relativiste serait construite, pas forcée.

Démonstration — schéma

Import externe. Čencov (1982, Statistical Decision Rules and Optimal Inference, AMS) a prouvé que la métrique de Fisher est l’unique métrique riemannienne monotone sur le simplexe de probabilité, à constante positive près.

Contribution PT.

1. Vérifier que $\Delta_2$ est un simplexe probabiliste standard (par T1, deux classes de résidus non nulles mod 3) ;
2. Vérifier que la matrice de transfert $T_m$ est stochastique (lignes positives sommant à 1) ;
3. Vérifier numériquement la monotonie : toutes les projections du crible donnent un ratio max $= 1{,}000000$.

Le théorème de Čencov s’applique alors directement.

Élimination. Métrique euclidienne (396/1200 tests échouent à la monotonie), métrique $\chi^2$ $ds^2 = dp^2/p^2$ (non Markov-contractive), métriques pondérées $ds^2 = w(p)\,dp^2$ (seul $w = 1/(p(1-p))$ — Fisher — survit).

Voir aussi

• G1 — Unicité de $D_{KL}$ — premier pilier d’unicité
• Lemme F — Reconstruction métrique — utilise G3 pour Fisher → Riemann
• Tous les théorèmes