G1 — Unicité de $D_{KL}$ (Shore–Johnson)

Énoncé

Soit $\Delta_m$ le simplexe des distributions de probabilité sur $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, muni de la décomposition produit CRT $\Delta_m \cong \prod_{p \mid m} \Delta_p$. Alors la divergence de Kullback–Leibler

est l’unique $f$-divergence qui satisfait les cinq axiomes de Shore–Johnson (cohérence, invariance, indépendance de système, indépendance de sous-ensemble, mise à l’échelle) et qui respecte la factorisation CRT.

Pourquoi ça compte

G1 est l’une des quatre unicités qui ferment la chaîne de reconstruction physique : G1 ($D_{KL}$), G3 (métrique de Fisher), T6 (holonomie $\sin^2\theta_p$), T5 ($\mu^* = 15$). Sans G1, le contenu informationnel du crible serait défini à la divergence près — et toute la chaîne GFT → entropie → première loi → couplages perdrait son caractère forcé.

G1 garantit que la décomposition bit = D_KL + H (théorème GFT) n’est pas un choix de notation mais l’unique décomposition compatible avec la factorisation CRT du crible.

Démonstration — schéma

PT vérifie que le simplexe $\Delta_m$ avec structure CRT satisfait SJ1–SJ5 (7/7 tests numériques) ; le théorème de Shore–Johnson 1980 (import externe, IEEE Trans. Inf. Theory) conclut l’unicité.

Élimination des alternatives (toutes vérifiées numériquement) : $\chi^2$, Hellinger, variation totale et Rényi $D_\alpha$ ($\alpha \neq 1$) violent l’un des axiomes — typiquement l’additivité sous CRT (SJ3).

Une preuve autonome (G1$'$, $thm:G1\_autonomous$) reconstruit le même résultat sans Shore–Johnson via la caractérisation de Csiszár des $f$-divergences additives : $f(t) = c_1\,t\ln t + c_2(t-1)$, et le second terme s’annule sur les distributions normalisées.

Voir aussi

• GFT — Théorème fondamental des écarts — utilise $D_{KL}$
• G3 — Unicité de la métrique de Fisher — second pilier d’unicité
• Lemme F — Reconstruction métrique — utilise G3
• Tous les théorèmes