Théorème

N4 — Premier niveau de cascade

Dans l’ordre canonique du crible, $p = 3$ est le premier niveau dynamique. $p = 2$ joue un rôle structurellement distinct (info / anti-info).

Énoncé

Dans le crible d’Ératosthène ordonné canoniquement, le premier $p = 3$ est le premier niveau de cascade dynamique : il produit la première matrice de transfert non triviale et impose la symétrie fondamentale $s = 1/2$ .

Le premier $p = 2$ a un rôle structurellement distinct : c’est l’opérateur info / anti-info qui crée la partition GFT $\log_2 m = D_{\rm KL} + H$ . Il est cinématique, pas dynamique.

Théorème

Lecture vulgarisée. Pourquoi la PT commence-t-elle à $p = 3$ et pas à $p = 2$ ? Parce que le 2 ne « bouge » pas — il sépare juste le pair de l’impair, c’est binaire. La vraie dynamique commence avec le 3, qui crée la première règle non triviale (les transitions interdites mod 3, T1).

Pourquoi ça compte

N4 justifie le rôle particulier de $p = 2$ dans toute la cascade PT. Sans cette distinction, on essaierait d’inclure $p = 2$ dans le calcul de $\alpha_{\rm EM}$ (BA5) — et on obtiendrait des nombres faux. Le facteur $p = 2$ sort autrement : par la fuite informationnelle $F(2) \approx 0{,}758$ qui habille $\alpha_{\rm bare}$ pour donner $\alpha_{\rm EM} = 1/137{,}036$ .

C’est aussi N4 qui justifie U4 (l’exclusion de $p = 2$ comme premier dynamique) dans T0.

Démonstration — schéma

$p = 2$ est cinématique. La partition pair / impair est une projection booléenne, sans dynamique.
$p = 3$ est dynamique. La matrice de transfert $T_3$ a deux états distincts (classes $\{1, 2\} \pmod 3$ ) avec règle d’élimination non triviale.
Symétrie forcée. $T_3 = \mathrm{antidiag}(1,1)$ a une distribution stationnaire $(1/2, 1/2)$ , d’où $s = 1/2$ .

Démonstration détaillée

Partie 1 — $p = 2$ est cinématique

Le crible mod 2 partitionne $\mathbb{N}$ en pairs $\{2, 4, 6, \ldots\}$ et impairs $\{1, 3, 5, 7, \ldots\}$ . Cette partition est :

Booléenne : un entier est pair ou impair, sans état intermédiaire.
Sans transition : la classe d’un entier est déterminée trivialement par son dernier bit.

La matrice de transfert mod 2 sur les survivants (impairs) est triviale : tous les survivants sont dans la même classe (1 mod 2). Pas de dynamique entre classes — pas d’analogue de T1.

C’est ce qui fait dire à la PT que $p = 2$ est l’opérateur de partition plutôt qu’un acteur de la cascade. Son rôle apparaît dans GFT : $\log_2 m = D_{\rm KL} + H$ , où le facteur 2 sépare la persistance de l’entropie.

Partie 2 — $p = 3$ est le premier dynamique

Le crible mod 3 sur les survivants 6-rough (entiers ni multiples de 2 ni de 3) donne deux classes non triviales : $\{1, 2\} \pmod 3$ . La matrice de transfert $T_3$ (théorème T1) a une règle d’élimination explicite : $T_3 = \mathrm{antidiag}(1, 1)$ .

C’est la première matrice de transfert non triviale du crible — la distinction entre $T_2$ (cinématique) et $T_3$ (dynamique) est structurelle.

Partie 3 — La symétrie $s = 1/2$

La distribution stationnaire de $T_3$ se calcule par diagonalisation : valeurs propres $\pm 1$ , vecteur propre stationnaire $(1, 1)/\sqrt{2}$ . Donc poids $1/2$ sur chaque classe — c’est la valeur de $s$ .

Cette symétrie ne pourrait pas émerger à $p = 2$ (qui n’a qu’un état non trivial). Elle émerge à $p = 3$ pour la première fois, et reste constante pour tous les premiers actifs ultérieurs (par CRT).

Conséquence : exclusion U4 dans T0

T0 (clôture BA0) inclut la condition U4 : exclusion de $p = 2$ comme premier dynamique. N4 justifie cette condition à un niveau structurel.

Cette exclusion n’est pas perdue : $p = 2$ revient à un autre niveau via l’habillage $F(2)$ de $\alpha_{\rm EM}$ (canal binaire). Mais sa contribution dynamique est filtrée hors de la cascade principale.

Pour la dérivation complète, voir chapitre 2 de la monographie.

Voir aussi

T0 — Clôture BA0 — utilise U4 (exclusion de $p = 2$ )
T1 — Transitions interdites mod 3 — premier exemple de dynamique
GFT — où $p = 2$ apparaît comme partition info/anti-info
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