Théorème

T4 — Convergence spectrale

$\alpha_k \to 1/2$ quand la profondeur du crible $k \to \infty$.

Énoncé

Soit le crible profond à $k$ étages (élimination des multiples de $p_1, \ldots, p_k$ ). Définissons la fraction de transition mixte :

\alpha_k = \frac{n_{12}(k)}{n_{12}(k) + n_{21}(k)},

où $n_{ij}(k)$ compte les transitions de la classe $i$ vers la classe $j$ parmi les survivants à la profondeur $k$ . Alors :

\boxed{\lim_{k \to \infty} \alpha_k = s = \frac{1}{2}.}

La preuve repose sur trois piliers :

Annihilation spectrale $r_2(0) = 0$ — l’eigenvecteur antisymétrique s’annule au site 0 (résultat structurel).
Compactness de Mertens — bornes asymptotiques sur les survivants $\prod (1 - 1/p)$ .
Décomposition de Gordin — la suite $\{\alpha_k\}$ est quasi-martingale plus reste borné.

Théorème

Lecture vulgarisée. Plus on raffine le crible (plus on enlève de multiples), plus la fraction de transitions de type « 1 → 2 » par rapport à « 2 → 1 » se rapproche de 50/50. À profondeur infinie, c’est exactement 50/50. Ce $1/2$ est la valeur stationnaire qui définit $s$ . T4 est ce qui prouve que le crible « finit le travail » : il ne laisse pas de biais résiduel.

Pourquoi ça compte

T4 est le pont entre le crible fini (à profondeur $k$ ) et le crible idéal (à profondeur infinie). Les théorèmes T1, T2, T3 sont des affirmations exactes sur la matrice de transfert idéale ; T4 garantit que la matrice empirique calculée à profondeur finie converge vers cette matrice idéale.

Sans T4, on aurait $|\alpha_k - 1/2| > 0$ persistant, ce qui signifierait qu’une nouvelle constante (différente de $s = 1/2$ ) émerge à la limite. La PT serait alors mal définie. T4 ferme cette objection.

Démonstration — schéma

Réduire la convergence d’ $\alpha_k$ à la convergence d’une chaîne de Markov sur l’état de transition.
Décomposer $\alpha_k$ en quasi-martingale plus reste borné (Gordin).
Borner le reste via compactness de Mertens.
Annuler le mode antisymétrique au site 0 par l’argument $r_2(0) = 0$ .
Conclure : seul le mode symétrique survit, valeur propre $\lambda_1 = 1$ , distribution stationnaire uniforme — d’où $\alpha_\infty = 1/2$ .

Démonstration détaillée

Étape 1 — Récurrence exacte

À chaque profondeur $k$ , la déviation $D(k) = \alpha_k - 1/2$ satisfait une récurrence exacte (Théorème de récurrence, ch. 7) :

D(k + 1) = (p_k - 3) D(k) + \Delta_k,

où $\Delta_k$ est un reste qui dépend des corrélations entre les premiers éliminés à l’étape $k+1$ .

Cette récurrence est vérifiée pour $k = 3, \ldots, 11$ par calcul direct sur les survivants.

Étape 2 — Factorisation spectrale

Le polynôme caractéristique de l’opérateur de récurrence se factorise comme :

f(1) = 4 (\alpha - 1/2)^2 (\alpha^2 + (p - 3)\alpha + 1).

Le premier facteur $(\alpha - 1/2)^2$ a un zéro double à $\alpha = 1/2$ , ce qui force le point fixe asymptotique. Le second facteur a des racines complexes pour $|p - 3| < 2$ et des racines réelles dans $(-1, 0)$ pour $|p - 3| > 2$ — dans tous les cas, $|R_\text{spec}| < 1$ .

Étape 3 — Borne spectrale

La borne de spectre globale est :

R_\text{spec} \approx 0{,}287 \ll 1.

C’est strictement inférieur à 1, ce qui garantit la convergence géométrique de $D(k) \to 0$ .

Étape 4 — Annihilation $r_2(0) = 0$

Pour fermer rigoureusement la convergence, on a besoin que le reste $\Delta_k$ ne contribue pas au mode dominant $\lambda_2^2 \approx 0{,}36$ . C’est ici qu’intervient l’annihilation spectrale :

L’eigenvecteur antisymétrique $r_2$ associé à $\lambda_2$ a une valeur exactement nulle à l’état 0, donc :

\langle r_2, \delta_0 \rangle = r_2(0) = 0.

Ce résultat est structurel (cf. ch. 7, Théorème de fermeture spectrale) et non conditionnel à PNT. Conséquence : seul le mode $\lambda_1^2 \approx 0{,}012$ survit dans les corrélations partant de l’état 0, et la convergence est exponentielle avec exposant fortement amorti.

Étape 5 — Décomposition de Gordin

La suite $\alpha_k$ peut s’écrire :

\alpha_k = M_k + R_k,

où $M_k$ est une martingale par rapport à la filtration des survivants, et $R_k$ un reste borné par compactness de Mertens :

|R_k| \leq C \cdot \prod_{i \leq k} \left(1 - \frac{1}{p_i}\right) \to 0.

Par théorème de convergence des martingales et $R_k \to 0$ , $\alpha_k$ converge p.s. vers une limite. L’identification de cette limite à $1/2$ est forcée par les étapes 1–4.

Conséquence : fermeture du problème de hiérarchie

Le résultat $r_2(0) = 0$ a une conséquence inattendue : il ferme le problème de hiérarchie de la PT. Le mode $\lambda_2^2 \approx 0{,}36$ aurait contribué à un déphasage hiérarchique entre échelles ; son annulation au site 0 garantit qu’aucune nouvelle échelle n’émerge spontanément. C’est ce qui permet à T5 de fixer un point fixe unique $\mu^* = 15$ sans corrections hiérarchiques.

Pour la dérivation complète et les preuves auxiliaires (récurrence, factorisation, borne spectrale, annihilation), voir chapitre 7 de la monographie.

Voir aussi

T1 — Transitions interdites mod 3 — base de la matrice de transfert
T2 — Conservation spectrale — version finie de T4
T5 — Point fixe — utilise la convergence T4 pour fixer $\mu^*$
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