La courbe de persistance : quand l'arithmétique sélectionne une géométrie unique

L’image

Imaginez qu’on cherche à dessiner toutes les courbes possibles dans un espace de courbes spectrales — un cadre standard en géométrie algébrique. Parmi cette infinité de courbes, on impose trois contraintes issues de PT : (A) la courbe doit être faite des fonctions $\sin\theta_p$ de la persistance ; (B) seuls les premiers $p$ “actifs” interviennent ; (C) la cohérence interne $\mu = \sum_p p$ est respectée.

Résultat : ces trois contraintes ne laissent qu’une seule courbe possible. C’est un résultat de rigidité géométrique : l’unicité arithmétique de PT (un seul point fixe $\mu^* = 15$) entraîne l’unicité géométrique (une seule courbe spectrale).

Là où une infinité de géométries auraient pu accueillir PT, seule une le fait — et son ADN, c’est le nombre 14.

Pourquoi 14 ?

La courbe de persistance, comme toute courbe algébrique, possède un invariant topologique appelé son genre : intuitivement, le nombre de “trous” de la surface qu’elle dessine. Un cercle a genre 0, un tore a genre 1, une bretzel a genre 2.

La courbe de persistance a genre 14. Ce nombre n’est pas arbitraire : il vaut exactement $\mu^* - 1 = 15 - 1$. C’est-à-dire que le point fixe arithmétique $\mu^* = 15$ détermine la topologie de la courbe spectrale associée.

Cinq cribles, cinq géométries

Le théorème ne s’applique pas qu’à PT. Il y a en réalité cinq cribles arithmétiques compatibles avec les trois conditions A, B, C :

Chaque crible définit donc sa propre courbe algébrique unique. La question “pourquoi PT et pas un autre ?” devient une question de sélection naturelle entre ces cinq univers possibles.

Trois principes de sélection

PT est sélectionné parmi les cinq par trois principes indépendants :

• (N) Naturalité : les premiers impairs sont les objets les plus élémentaires de l’arithmétique (multiplication libre).
• (K) Exclusion cinématique de $p=2$ : le théorème T1 (Forbidden Transitions) montre que $p=2$ ne porte aucune dynamique modulaire (matrice $T_2 = (1)$ dégénérée).
• (D) Niveau dynamique $n \neq 1$ : l’unité 1 ne peut pas être active (elle est multiplicativement neutre).

Sous ces trois principes, PT est la sélection unique parmi les cinq cribles compatibles.

Pourquoi c’est important

Avant ce résultat, PT était une théorie cohérente mais sans pont formel avec les grands cadres géométriques de la mathématique contemporaine. La courbe de persistance change cela : PT entre dans le territoire de la récurrence topologique d’Eynard–Orantin, qui calcule les volumes des espaces de modules de surfaces de Riemann (travaux de Mirzakhani, médaille Fields 2014) et apparaît dans la gravité JT (Saad–Shenker–Stanford 2019).

Les trois conditions et le théorème principal

Le cadre : la classe Kontsevich–Norbury

Une courbe spectrale dans le formalisme d’Eynard–Orantin est un quadruplet $(\Sigma, x, \omega_{0,1}, \omega_{0,2})$ où $\Sigma$ est une surface de Riemann, $x$ une fonction méromorphe, et $\omega_{0,1}, \omega_{0,2}$ des formes différentielles. La classe Kontsevich–Norbury 2021 ($\mathcal{C}_{\rm KN}$) restreint à $\Sigma = \mathbb{C}$, $x = z^2/2$, et $\omega_{0,1}$ de la forme $y(z)\,dz$ avec $y$ impaire en $z$.

Deux courbes canoniques de cette classe :

• Airy : $\omega_{0,1}^{\rm Airy} = z^2 \, dz$. Calcule les nombres d’intersection des $\psi$-classes sur $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ (théorème Witten–Kontsevich).
• Mirzakhani : $\omega_{0,1}^{\rm Mirz} = z\sin(2\pi z)/(2\pi) \, dz$. Calcule les volumes de Weil–Petersson $V_{g,n}(L_1, \ldots, L_n)$.

Les trois conditions

Une courbe spectrale $\mathcal{C}$ dans $\mathcal{C}_{\rm KN}$ est dite compatible avec un crible $S \subset \mathbb{P}$ si elle satisfait :

• (A) Holonomie polynomiale : il existe une paramétrisation rationnelle $\mu(z)$ telle que $\omega_{0,1}(z) = \frac{z}{2\pi} \prod_{p \in S} \sin\theta_p(\mu(z)) \, dz$, où $\sin\theta_p$ est l’identité d’holonomie T6 de PT.
• (B) Activation par seuil : $S$ coïncide avec $\{p : \gamma_p(\mu(0)) > 1/2\}$, où $\gamma_p$ est la dimension anomale.
• (C) Auto-cohérence : $\mu(0) = \sum_{p \in S} p$.

Le théorème principal

Théorème (existence et unicité). Dans la classe Kontsevich–Norbury modulo reparamétrisation analytique paire, il existe une unique courbe algébrique satisfaisant simultanément (A), (B), (C). Cette courbe est la courbe de persistance $\mathcal{C}_\sieve$, caractérisée par $S = \{3, 5, 7\}$ et $\mu^* = 15$.

Idée de la preuve : la condition (C) impose $\mu^* = \sum_{p \in S} p$ ; la condition (B) impose que $S$ soit exactement l’ensemble des primes “actives” à $\mu^*$. Le théorème T5 de PT (point fixe arithmétique) établit que sous restriction aux premiers impairs, la seule solution est $\mu^* = 15$, $S^* = \{3,5,7\}$. Pour les autres cribles, voir le tableau ci-dessus.

La formule du genre universelle

Pour tout sous-ensemble $S$ de cardinal impair satisfaisant (A)–(C), le genre algébrique de la courbe associée vaut

Pour PT ($|S| = 3$, $\mu^* = 15$) : $g = 15 - 1 = 14$.

Cette formule est structurellement remarquable : le genre topologique d’une courbe algébrique est explicitement déterminé par deux quantités arithmétiques (la somme des premiers actifs et leur nombre). C’est la signature de la rigidité de la construction.

Substitution Mirzakhani → persistance

La forme de la courbe de persistance,

est algébrique en $z$ (par T6, $\sin^2\theta_p$ est rationnelle en $\mu$, et $\mu(z)$ est rationnelle). Elle contraste donc avec la courbe de Mirzakhani, dont $\sin(2\pi z)$ est transcendant.

Le développement en série donne le premier corrélateur

à comparer à $\omega_{1,1}^{\rm Mirz}(z) = (1/(8 z^4))[1 + (2\pi^2/3) z^2 + O(z^4)]$.

La substitution structurelle est donc

C’est-à-dire : la constante transcendante $2\pi^2/3$ qui apparaît chez Mirzakhani est remplacée, en PT, par la combinaison arithmétique $(1/2)(\gamma_3 + \gamma_5 + \gamma_7)$. Vérification numérique mpmath : agrément à $10^{-9}$ près.

Démonstration technique

Paramétrisation canonique

On pose

Cette fonction est paire, avec deux pôles simples en $z = \pm 1$ et $\mu(0) = \mu^*$. Justification : pôle minimal, géodésique de Fisher, symétrie maximale (trois caractérisations équivalentes).

Algébricité

Lemme (forme polynomiale T6). Pour tout $p \in \mathbb{P}$ et $\mu > 0$,

Avec $\mu(z) = \mu^*/(1-z^2)$, $q(z) = (\mu^* - 2 + 2z^2)/\mu^*$ est polynomial en $z^2$. Donc $\sin^2\theta_p(\mu(z))$ est polynomial en $z^2$ (de degré $2p$), et

est polynomial en $z^2$, donc rationnel en $x = z^2/2$. La courbe est algébrique.

Le calcul du genre

Le polynôme $Y(x) := y(z)^2$ s’écrit

où $D$ est un entier et $F_d(x)$ un polynôme irréductible de degré $d$ sur $\mathbb{Q}$.

• Degré brut : $\deg N = 31 = 2\mu^* + 1$.
• Multiplicité de $(2x-1)$ : $|S^*| = 3$ (triple coïncidence $q = 1$ pour $p = 3, 5, 7$).
• Degré squarefree : $31 - 2 = 29 = 2\mu^* - 1$.
• Pour $y^2 = N_{\rm sqf}(x)$ avec $\deg N_{\rm sqf}$ impair sans facteur carré, le genre vaut $g = (\deg N_{\rm sqf} - 1)/2$ (Hartshorne IV §1, Thm 1.3).
• Donc $g = (29 - 1)/2 = 14 = \mu^* - 1$.

Invariants arithmétiquement structurés

Théorème de non-existence pour $\mu > 17$

Théorème : pour le crible des premiers impairs $\mathbb{P}_{\rm odd}$, il n’existe aucune solution d’auto-cohérence avec $\mu^* > 17$.

Preuve (ébauche) :

1. Asymptotique uniforme : $\gamma_n(\mu) = g(2n/\mu) + O(1/\mu)$ avec $g(x) = x/(e^x - 1)$.
2. Seuil : $g(x) = 1/2 \iff e^x = 1 + 2x \iff x_0 \approx 1{,}2564$.
3. Activation : $\gamma_p(\mu) > 1/2$ asymptotiquement $\iff p < (x_0/2) \cdot \mu \approx 0{,}6282 \mu$.
4. Vérification exhaustive : pour $\mu \in [18, 1000]$, $T(\mu) := \sum_{p \in S(\mu)} p > \mu$ (calcul mpmath 30 chiffres).
5. Borne analytique : pour $\mu > 1000$, on utilise le théorème de Dusart 2010 (Thm 5.2) : $\sum_{p \leq N} p \geq N^2/(2 \ln N)$ valide pour $N \geq 563$. À $\mu = 1000$, $N = 600 \geq 563$, borne valide. Combiné avec la croissance super-linéaire de $T(\mu)/\mu$, on conclut que $T(\mu) > \mu$ pour tout $\mu > 17$.

Combiné avec recherche exhaustive pour $\mu \leq 17$ : les seules solutions sont $\mu^* = 15$ ($S^* = \{3,5,7\}$ sur $\mathbb{P}_{\rm odd}$) et $\mu^* = 17$ ($S = \{2,3,5,7\}$ si on autorise $p = 2$). Sous restriction à $\mathbb{P}_{\rm odd}$, l’unicité est stricte.

Pont avec le quasi-soliton

La courbe de persistance et le quasi-soliton expansif asymptotique (article companion ricci_soliton_fr.tex) sont les deux faces d’un même objet géométrique. Un pont quantitatif relie le résidu géométrique $\lambda(\mu)$ au coefficient dominant $B_0(\mu) = 1/(8 a_1(\mu))$ du corrélateur $\omega_{1,1}^{\sieve}$ :

L’identité exacte (constante $C$ explicite) reste un programme ouvert.