CRT — Découplage du crible et invariance causale

Énoncé

Soit $m = q_1 \cdots q_k$ un modulus sans facteur carré. Le théorème des restes chinois (CRT) donne l’isomorphisme d’anneaux

Soit $\pi_p$ la projection du crible retirant la classe $0 \bmod p$. Alors les projections aux premiers distincts commutent :

L’ordre dans lequel les premiers sont retirés n’affecte ni l’ensemble des survivants, ni les statistiques d’écarts, ni la matrice de transfert.

Pourquoi ça compte

Le découplage CRT est l’invariance de jauge structurelle de la PT. Il a plusieurs rôles convergents :

• Localité du crible. Cribler au premier $p$ agit uniquement sur le facteur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ; les autres facteurs sont invariants. C’est l’analogue arithmétique exact de la localité spatiale.
• Forme produit BA5. Combiné à la dualité de Pontryagin (les caractères des sommes directes sont des produits multiplicatifs), il force la forme produit $\alpha_{\text{crible}} = \prod_p \sin^2\theta_p$ du couplage de jauge.
• Invariance causale. Permutation $\sigma \in S_k$ des premiers actifs $\Rightarrow$ même ensemble final, mêmes observables. C’est l’analogue arithmétique discret de la covariance générale (Wolfram, Gorard).
• Unicité KL (G1) et structure produit Fisher héritent directement de cette décomposition.

Sans CRT, ni la forme produit ni l’invariance de jauge ne seraient forcées : il faudrait les postuler.

Démonstration — schéma

Étape 1. Le CRT est un théorème classique de théorie des anneaux : $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \to \prod_i \mathbb{Z}/q_i\mathbb{Z}$, $r \mapsto (r \bmod q_1, \ldots, r \bmod q_k)$ est un isomorphisme d’anneaux lorsque les $q_i$ sont coprimes deux à deux.

Étape 2. La projection $\pi_p$ retire exactement $1/p$ des éléments uniformément dans chaque classe $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ ($q \neq p$). Donc $\pi_p$ et $\pi_q$ agissent sur des facteurs disjoints et commutent.

Étape 3. Tous les observables ($n_2$, $T$, $D$, $\alpha$) ne dépendent que de l’ensemble final des survivants et de la structure des écarts — non de l’ordre de retrait. Ils sont donc $S_k$-invariants.

Indépendance statistique des composantes (à l’ordre principal en $1/\ln N$) découle du théorème des nombres premiers pour les progressions arithmétiques.

Voir aussi

• BA5 — Produit de Pontryagin — forme produit du couplage
• G1 — Unicité de $D_{KL}$ — utilise CRT pour l’additivité
• T2 — Conservation spectrale — utilise la factorisation $T_{30} \cong T_3 \otimes T_5$
• Tous les théorèmes