Mertens — Compacité de la fonction $M(x)$

Énoncé

Le théorème de Mertens (1874) affirme que la somme des inverses des premiers vérifie

où $B \approx 0{,}26149\ldots$ est la constante de Mertens. En particulier, la fonction $M(x) - \log\log x$ reste uniformément bornée sur $x \geq 2$.

Pourquoi ça compte (rôle dans la PT)

Mertens est un théorème classique (théorie analytique des nombres, indépendant de PT). La PT l’importe pour un usage précis : la compacité des matrices de transfert du crible.

À chaque niveau $k$ du crible, le taux d’auto-transition $\alpha_k$ satisfait $\alpha_k \to 1/2$ par Mertens (ou de façon équivalente par le théorème des nombres premiers). Les matrices stochastiques $T(k)$ restent donc dans un ensemble compact, et toute fonctionnelle continue de $T(k)$ converge.

C’est exactement ce que demande la preuve du théorème T4 (convergence spectrale) : sans Mertens, on ne pourrait pas conclure que les vecteurs propres et le rayon spectral convergent.

Pas de circularité. Mertens fournit l’asymptotique de fond $\alpha_k = 1/2 - O(1/\ln p_k)$ — valable pour tout crible multiplicatif. T4 prouve le contenu structurel spécifique à PT (annihilation spectrale $r_2(0) = 0$, dilution CRT) ; les deux briques sont logiquement indépendantes.

Démonstration — schéma

Preuve classique (élémentaire). Sommer $\sum_{p \leq x} \log p \cdot 1/p$ par parties de l’estimée de Tchebychev $\sum_{p \leq x} \log p / p = \log x + O(1)$ ; on en déduit $M(x) = \log\log x + B + O(1/\log x)$. Voir Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, chap. I.1.

Voir aussi

• T4 — Convergence spectrale — utilisateur principal de Mertens
• T5 — Attracteur $\mu^* = 15$ — utilise T4
• Premiers actifs — discrimination $\gamma_p \gtrless s$
• Tous les théorèmes