Critère du premier actif

Énoncé

À l’attracteur réduit $\mu^* = 15$, un premier $p$ est dit actif si et seulement si sa dimension anormale satisfait

L’ensemble des premiers actifs est exactement $\mathcal{P}_{\text{act}} = \{3, 5, 7\}$. La formule rationnelle exacte est

Pourquoi ça compte

Le critère $\gamma_p > s$ est le filtre qui sélectionne les trois premiers physiquement pertinents pour le Modèle Standard. Il livre simultanément :

• le nombre de couleurs $N_c = |\mathcal{P}_{\text{act}}| = 3$ (théorème $N_c$, ch. 8),
• le nombre de générations $N_{\text{gen}} = 3$ (via Fisher–Koide),
• le point fixe $\mu^* = 3 + 5 + 7 = 15$ (T5),
• la forme produit du couplage $\alpha_{\text{crible}} = \prod_{p \in \{3,5,7\}} \sin^2\theta_p$ (BA5).

Sans le critère du premier actif, il n’y aurait pas de discrimination canonique entre les premiers — et donc pas de raison pour que les observables physiques s’organisent autour de trois canaux exactement.

Démonstration — schéma

(i) Calcul rationnel exact (fractions.Fraction) à $\mu^* = 15$ :

Les trois premières valeurs sont strictement $> 1/2$, les deux dernières strictement $< 1/2$. La frontière tombe entre $p = 7$ et $p = 11$.

(ii) Argument analytique de monotonie pour $p \geq 7$ : on écrit $\gamma_p = F(p)\,G(p)$ où $F$ est exponentielle décroissante (facteur $q^{p-1}$) dominant la croissance polynomiale de $G$. Donc $\gamma_p < \gamma_7 < 1/2$ pour tout $p \geq 11$.

(iii) Robustesse : tout seuil $\tau \in [0{,}43, 0{,}59]$ donne le même ensemble actif. La physique est structurellement stable à ±17 % de variation du seuil.

Détails complets : monographie §6.6, fichier PT.Holonomy.ActivePrimeAnalyticMonotonicity.

Voir aussi

• T6 — Holonomie — formule $\sin^2\theta_p$
• T5 — Attracteur $\mu^* = 15$ — $\mu^* = \sum_{\text{actifs}} p$
• $N_c = 3$ — la couleur depuis le crible
• BA5 — Produit de Pontryagin — produit sur les actifs
• Tous les théorèmes