Théorème

$N_c = 3$ — La couleur depuis le crible

$N_c = N_{\text{spatial}} = 3$ : unique solution entière de $(N_c+1)!/(N_c+3) = 2^{N_{\text{spatial}}-1}$.

Énoncé

Le nombre de couleurs $N_c$ et la dimension spatiale $N_{\text{spatial}}$ sont l’unique entier positif simultanément solution de l’équation de dimension spatiale :

\frac{(N_c + 1)!}{N_c + 3} = 2^{N_{\text{spatial}} - 1}.

L’unique solution entière est $(N_c, N_{\text{spatial}}) = (3, 3)$ .

Théorème

Pourquoi ça compte

C’est l’un des résultats les plus frappants de la PT : le nombre de couleurs $N_c = 3$ de QCD et la dimension spatiale $N_{\text{spatial}} = 3$ de notre univers sont forcés ensemble par une seule équation arithmétique élémentaire, sans aucun paramètre ajusté.

Le théorème est purement arithmétique. Son interprétation physique ( $N_c = 3$ couleurs, $N_{\text{spatial}} = 3$ dimensions) relève d’une identification BRIDGE — mais l’unicité combinatoire elle-même est un THM.

Combiné au critère du premier actif ( $\mathcal{P}_{\text{act}} = \{3,5,7\}$ , donc $|\mathcal{P}_{\text{act}}| = 3$ ) et au nombre de générations $N_{\text{gen}} = 3$ (théorème N_gen_from_active_spectrum), la PT livre la triade

N_c = N_{\text{spatial}} = N_{\text{gen}} = 3

depuis un même point fixe $\mu^* = 15$ .

Démonstration — schéma

Énumération directe :

$N_c$	$(N_c+1)!/(N_c+3)$	puissance de 2 ?
1	$2!/4 = 1/2$	non (non entier)
2	$3!/5 = 6/5$	non (non entier)
3	$4!/6 = 4 = 2^2$	oui → $N_{\text{spatial}} = 3$
4	$5!/7 = 120/7$	non (non entier)
5–20	divers	aucun n’est entier ET puissance de 2

Pour $N_c \geq 5$ , $(N_c+1)!/(N_c+3)$ n’est ni un entier ni une puissance de 2 — vérifié exhaustivement par énumération jusqu’à $N_c = 20$ , puis fermé par croissance factorielle dominant la décroissance polynomiale du dénominateur.

L’unique couple $(N_c, N_{\text{spatial}}) = (3, 3)$ subsiste.

Voir aussi

Critère du premier actif — d’où vient « 3 » primes
T5 — Attracteur $\mu^* = 15$ — $15 = 3 + 5 + 7$
T6 — Holonomie — phases $\sin^2\theta_p$ sur les 3 actifs
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