Thermodynamique — GFT = première loi

Énoncé

L’identité GFT (théorème fondamental des écarts) :

est une identité algébrique exacte (vérifiée à $< 10^{-15}$ bits à $m = 210$). Elle s’interprète comme la première loi de la thermodynamique du crible :

Le crible ne peut ni gagner ni perdre $\log_2 m$ unités lors de son traitement : il ne peut que les redistribuer entre une partie ordonnée ($D_{KL}$) et une partie désordonnée ($H$).

Pourquoi ça compte

Cette identification est l’une des plus fortes de la PT : la thermodynamique entière du crible (première loi, seconde loi, flèche du temps, conditions KMS, borne de Bekenstein) est dérivée de la seule identité GFT et de la structure de Gibbs du crible — sans importer de concept thermodynamique.

• Première loi : GFT lui-même (cette fiche).
• Seconde loi ($D_{KL}$ strictement décroissant, $H$ strictement croissant) : conséquence de la convergence T4 et de l’inégalité de Pinsker.
• Flèche du temps : différentiation de GFT à $m$ constant.
• Bekenstein : borne entropique géométrique sur les surfaces de crible.

Trois fonctions de partition $Z_F = Z_R = Z_P$ (Fisher, Riemann, prime) coïncident — ce qui ancre l’identification thermodynamique au sens fort.

Démonstration — schéma

Identité GFT. Par définition, $D_{KL}(P \| U_m) = \sum_i p_i \log_2(m\, p_i) = \log_2 m + \sum_i p_i \log_2 p_i = \log_2 m - H(P)$.

Donc $\log_2 m = D_{KL} + H$, identité algébrique exacte sur toute distribution $P$ et toute uniforme $U_m$.

Identification thermodynamique (rôle BRIDGE) : $U \leftrightarrow \log_2 m$ (capacité totale fixée par le modulus), $F \leftrightarrow D_{KL}$ (information persistante = travail extractible), $S \leftrightarrow H$ (entropie résiduelle), $T = 1$ (température naturelle en bits/nat). À cette identification, $U = F + TS$ est la première loi.

Raffinement épiplexique (Finzi et al. 2026) : pour un observateur borné en temps $T$, GFT devient $S_T(X) + H_T(X) \leq n + c$ — séparation structurelle/entropique épistémique. L’identité PT est la limite $T \to \infty$.

Voir aussi

• GFT — Théorème fondamental des écarts — identité-source
• G1 — Unicité de $D_{KL}$ — fixe le contenu informationnel
• L0 — Distribution géométrique unique — entropie maximale
• Tous les théorèmes